Question - Numbers with Specific Number of Divisors
Solution:
Die Aufgabe lautet: "Geben Sie alle Zahlen mit genau 5 (6) Teilern an."Hier möchten wir alle Zahlen finden, die genau fünf oder sechs unterschiedliche Teiler haben. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir ein bisschen über die Teiler von Zahlen nachdenken und wie sie sich aus den Primfaktorzerlegungen ergeben.Die Anzahl der Teiler einer Zahl kann bestimmt werden, wenn man ihre Primfaktorzerlegung betrachtet. Angenommen, wir haben eine Zahl $$ n $$, die als $$ n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} $$ zerlegt werden kann, wobei $$ p_i $$ die Primfaktoren sind und $$ a_i $$ ihre jeweiligen Exponenten darstellen. Dann ist die Anzahl der Teiler von $$ n $$ gleich $$ (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (a_k + 1) $$.Für genau 5 Teiler sollte die Anzahl der Teiler in der Form $$ (a+1) = 5 $$ sein, was bedeutet, $$ a = 4 $$. Das bedeutet, dass die Zahl $$ n $$ eine Potenz eines einzigen Primfaktors sein muss (z.B. $$ p^4 $$, wobei $$ p $$ eine Primzahl ist). Wir suchen also nach einer Primzahl, die zur vierten Potenz erhoben wurde.Die ersten paar Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, usw.Wir erheben sie zur vierten Potenz, um die Zahlen mit genau fünf Teilern zu erhalten:- Für $$ p = 2 $$, erhalten wir $$ 2^4 = 16 $$, mit den Teilern 1, 2, 4, 8, 16.- Für $$ p = 3 $$, erhalten wir $$ 3^4 = 81 $$, mit den Teilern 1, 3, 9, 27, 81.- Für $$ p = 5 $$, erhalten wir $$ 5^4 = 625 $$, mit den Teilern 1, 5, 25, 125, 625.und so weiter. Diese Zahlen haben genau fünf Teiler.Für genau 6 Teiler sucht man eine Zahl, bei der $$ (a+1)(b+1) = 6 $$. Dies bedeutet, dass $$ a $$ und $$ b $$ so sein müssen, dass ihre Summen, jeweils um 1 erhöht, multipliziert 6 ergeben. Die einzige Möglichkeit ist $$ (2+1)(1+1) = 6 $$. Also suchen wir nach Zahlen, die das Produkt von zwei Primfaktoren sind, von denen einer zur ersten Potenz und der andere zur zweiten Potenz erhoben ist (z.B. $$ p_1^2 \cdot p_2^1 $$).Ein Beispiel hierfür ist die Zahl 12, die als $$ 2^2 \cdot 3^1 $$ zerlegt werden kann und die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12 hat.Weitere Beispiele wären:- $$ 2^2 \cdot 5^1 = 20 $$ mit den Teilern 1, 2, 4, 5, 10, 20.- $$ 3^2 \cdot 2^1 = 18 $$ mit den Teilern 1, 2, 3, 6, 9, 18.Das sind also die Zahlen, die genau fünf oder sechs Teiler haben.
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