Question - Number Divisibility and Prime Factors Exercise
Solution:
Natürlich, ich helfe Ihnen gerne beim Lösen der Aufgaben auf dem Bild.**Übung 9.1:**a) Wenn eine Zahl n drei verschiedene Primzahlen p, q und r enthält, bedeutet dies, dass n = p * q * r ist. Jede Primzahl stellt selbst einen Teiler dar, und jede Kombination von Produkten dieser Primzahlen ist auch ein Teiler von n. Das heißt, es gibt die Teiler 1, p, q, r, pq, pr, qr, und pqr. Das sind insgesamt mindestens 8 Teiler.b) Wenn eine Zahl n nur durch eine Primzahl p teilbar ist, dann bedeutet das, dass n eine Potenz von p ist, also n = p^k für ein gewisses k. Diese Zahl hat dann die Teiler 1, p, p^2, bis hin zu p^k. Wenn sie nur durch eine einzige Primzahl teilbar ist, hat sie daher genau k + 1 Teiler.c) Wenn n eine 7-er Potenz ist, dann kann n als n = 7^k geschrieben werden, wo k eine positive ganze Zahl ist. Die Teiler wären dann 1, 7, 7^2, bis hin zu 7^k, entsprechend k + 1 Teiler. Da 7 eine Primzahl ist, fällt dieses Beispiel unter den Fall oben und beweist diese Aussage.**Übung 9.2:**Wir suchen eine Zahl, die die Zahlen 6, 12, 30 und 45 als Teiler hat. Da 6 = 2 * 3, 12 = 2^2 * 3, 30 = 2 * 3 * 5 und 45 = 3^2 * 5, brauchen wir eine Zahl, die mindestens die Primfaktoren 2^2, 3^2 und 5 hat, um sicherzustellen, dass sie durch 6, 12, 30 und 45 teilbar ist. Die kleinste Zahl, die alle diese Bedingungen erfüllt, ist also 2^2 * 3^2 * 5 = 4 * 9 * 5 = 180. Die Zahl 180 hat 6, 12, 30 und 45 als Teiler.
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