Question - Finding Numbers with Specific Number of Divisors
Solution:
Absolutely, let's solve each of the questions one by one in German.a) Um die kleinste Zahl mit genau 10 Teilern zu finden, müssten wir über die Primfaktorzerlegung und Teileranzahl gehen. Die Anzahl der Teiler einer Zahl hängt von der Anzahl der Primfaktoren und deren Potenzen ab. Da wir 10 Teiler wollen, und 10 = 2 x 5, brauchen wir eine Primzahl mit der Potenz von 4 (weil es 5 - 1 ist) und eine andere Primzahl mit der Potenz von 1 (2 - 1). Die kleinsten Primzahlen sind 2 und 3. Also ist die kleinste Zahl mit genau 10 Teilern 2^4 * 3^1 = 16 * 3 = 48.b) Um die größte Zahl mit genau 6 Teilern zu finden, betrachten wir wieder die Primfaktoren. Da 6 = 2 x 3, benötigen wir eine Primzahl mit der Potenz von 2 (3 - 1) und eine andere Primzahl mit der Potenz von 1 (2 - 1). Um die größte Zahl zu erhalten, nehmen wir die größte vernünftige Primzahl und eine kleinere. Solche Primzahlen könnten z.B. 7 und 13 sein, also 7^2 * 13^1 = 49 * 13 = 637.Übung 8.6:c) Eine Zahl, die 20 verschiedene Teiler hat, kann auf viele Arten zusammengesetzt sein. Um die Anzahl verschiedener Primfaktoren zu finden, betrachten wir die Teileranzahlformel: Wenn die Primfaktorenzerlegung einer Zahl $$ n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot p_3^{a_3} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} $$ ist, dann ist die Anzahl der Teiler $$ (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot (a_3 + 1) \cdot ... \cdot (a_k + 1) $$.Für 20 verschiedene Teiler könnte die Zerlegung auf verschiedene Weisen erfolgen, z.B. 20 = 2 x 2 x 5. Es könnte also eine Primzahl mit der Potenz von 4 sein (weil 5 - 1 = 4) und zwei verschiedene Primzahlen mit der Potenz von 1 (2 - 1 = 1). Dies gibt uns drei verschiedene Primfaktoren.Die Primfaktoren bestimmen jedoch nicht eindeutig die Zahl, denn es könnte viele Kombinationen von Primzahlen geben, die diese Kriterien erfüllen. Für eine einzige Lösung müsste man die spezifischen Primzahlen und ihre Potenzen kennen.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com