Example Question - prime factorization
Here are examples of questions we've helped users solve.
Simplifying Fractions with Common Denominator
To simplify the given expression, we first need to identify a common denominator for the fractions. The terms have the following denominators: 27x^2, 12, and 2(3x). The least common denominator (LCD) among these must be a number that each denominator can divide into without a remainder. The prime factorization of the denominators would be: - For 27x^2: 3^3 * x^2 - For 12: 2^2 * 3 - For 2(3x): 2 * 3 * x The LCD needs to account for the highest powers of each prime and variable present in all the denominators, which is: 2^2 * 3^3 * x^2. This simplifies to 108x^2. Now that we have identified the LCD as 108x^2, we can rewrite each fraction with this common denominator: - \( \frac{5}{27x^2} \) becomes \( \frac{5 \cdot 4}{108x^2} \) because 27x^2 times 4 equals 108x^2. - \( \frac{5}{12} \) becomes \( \frac{5 \cdot 9x^2}{108x^2} \) because 12 times 9x^2 equals 108x^2. - \( \frac{2}{2(3x)} \) becomes \( \frac{2 \cdot 18x}{108x^2} \) because 2(3x) times 18x equals 108x^2. Rewriting the expression with the common denominator: \[ \frac{5 \cdot 4}{108x^2} + \frac{5 \cdot 9x^2}{108x^2} + \frac{2 \cdot 18x}{108x^2} \] This simplifies to: \[ \frac{20}{108x^2} + \frac{45x^2}{108x^2} + \frac{36x}{108x^2} \] Now, add the fractions together, noting that the x^2 terms in the second fraction will cancel out with the x^2 in the denominator: \[ \frac{20 + 45x^2 + 36x}{108x^2} \] There are no like terms to combine, so this is as simplified as it gets without factoring the numerator, which is not suggested in this context. Also, there seem to be no common factors between the numerator and the denominator that can be cancelled out. So the final simplified expression is: \[ \frac{20 + 45x^2 + 36x}{108x^2} \]
Calculating the Least Common Multiple of 799 and 250
这个问题是请求计算两个数字799和250的最小公倍数。 最小公倍数（Least Common Multiple，缩写为LCM）是能同时被几个给定整数整除的最小的正整数。计算两个数的最小公倍数有多种方法。在这里，我们可以使用质因数分解方法，首先找出两个数的质因数分解，然后取每个质因数的最高幂次的乘积来得到最小公倍数。 要找到799和250的最小公倍数，我们首先找到这两个数的质因数分解。 799质因数分解为： \[ 799 = 17 \times 47 \] 250质因数分解为： \[ 250 = 2 \times 5^3 \] 然后，我们取所有质因数的最高幂次的乘积： \[ 2^1 \times 5^3 \times 17^1 \times 47^1 \] 所以： \[ \text{LCM}(799, 250) = 2 \times 125 \times 17 \times 47 \] \[ \text{LCM}(799, 250) = 2 \times 125 \times 799 \] \[ \text{LCM}(799, 250) = 250 \times 799 \] \[ \text{LCM}(799, 250) = 199750 \] 因此799和250的最小公倍数是199750。
Determining GCD and LCM Using Hasse Diagrams
Die Aufgabe in dem Bild lautet: "Aufgabe 6: Hasse-Diagramme, ggT und kgV Bestimmen Sie den ggT und das kgV der Zahlen 40 und 50 mit Hilfe eines Hasse-Diagramms. Beschriften Sie das Hasse-Diagramm vollständig." Beginnen wir mit der Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) für die Zahlen 40 und 50. Zuerst zerlegen wir beide Zahlen in ihre Primfaktoren: - 40 = 2^3 * 5 - 50 = 2 * 5^2 Der ggT ist das Produkt aller Primfaktoren, die die Zahlen gemeinsam haben, jeweils in der niedrigsten Potenz, die in beiden Zerlegungen vorkommt. - ggT(40, 50) = 2 * 5 = 10 Das kgV ist das Produkt aller Primfaktoren, die in wenigstens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, jeweils in der höchsten vorkommenden Potenz. - kgV(40, 50) = 2^3 * 5^2 = 8 * 25 = 200 Für das Hasse-Diagramm beginnen wir, indem wir die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen darstellen und die Zahlen in einer teilweisen Ordnung anordnen, sodass Faktoren, die Teiler anderer Faktoren sind, tiefer im Diagramm stehen. Ein mögliches Hasse-Diagramm könnte so aussehen (von unten nach oben, wobei jede höhere Ebene die Faktoren der darunterliegenden Ebene vervielfacht): Unten: 1 (kein gemeinsamer Teiler außer 1) Dann darüber: 2 (ggT von 40 und 50) Dann darüber: 10 (ggT von 40 und 50 mit der 5 multipliziert) Oben: 200 (kgV von 40 und 50) Nur die Zahlen 1, 2, 10 und 200 müssten in dem Hasse-Diagramm beschriftet werden, mit Linien, die die Teilerbeziehungen (z.B. 1 zu 2, 2 zu 10 und 10 zu 200) symbolisieren.
Calculating Greatest Common Divisor (GCD) Using Prime Factorization
Die Aufgabe fragt nach der koordinierten Primfaktorzerlegung der Zahlen 30, 42 und 105 und dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) dieser drei Zahlen. Zuerst zerlegen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren: 30 = 2 × 3 × 5 42 = 2 × 3 × 7 105 = 3 × 5 × 7 Jetzt bestimmen wir die gemeinsamen Primfaktoren von allen drei Zahlen. Die Zahl 2 kommt nur in den Primfaktorzerlegungen von 30 und 42 vor, aber nicht in der von 105. Daher ist 2 nicht Teil des ggT. Die Zahl 3 kommt in allen drei Zerlegungen vor. Das ist der einzige Primfaktor, der in allen drei Zahlen vorhanden ist. Die Zahl 5 kommt in 30 und 105 vor, aber nicht in 42, daher ist sie nicht Teil des ggT. Die Zahl 7 kommt in 42 und 105 vor, aber nicht in 30, also ist sie auch nicht Teil des ggT. Der größte gemeinsame Teiler ist somit der Primfaktor, der in allen Zahlen vorkommt: ggT(30, 42, 105) = 3 Daher ist 3 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 30, 42 und 105.
Hasse Diagrams for a Number and Finding Similar Structure
Die Aufgabe lautet: a) Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm für die Zahl 495. Beschreiben Sie das Diagramm. b) Nennen Sie zwei Zahlen, deren Hasse-Diagramme die gleiche Struktur aufweisen wie das der Zahl 495, Begründen Sie kurz. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir zunächst die Primfaktorzerlegung der Zahl 495 durchführen: 495 = 3 × 3 × 5 × 11 Die Zahl 495 hat also die Primfaktoren 3, 3 (wobei 3 zweimal als Faktor auftritt), 5 und 11. Ein Hasse-Diagramm stellt die Teiler einer Zahl in einer Form dar, die ihre Hierarchie zeigt, basierend auf der Teilbarkeit. Da wir keine Bilder zeichnen können, beschreibe ich, wie das Hasse-Diagramm der Zahl 495 aussehen würde: - Ganz unten im Diagramm wäre die 1, der kleinste Teiler. - Die nächste Ebene darüber bestünde aus den Primfaktoren der Zahl: 3, 5, und 11 - Da 3 zweimal als Faktor auftritt, hätte das nächste Level darüber die Zahl 9 (da 3 × 3 = 9) - Die folgenden Ebenen würden die Produkte dieser Primfaktoren zeigen: 15 (3 × 5), 33 (3 × 11), und 55 (5 × 11) - Dann käme die Ebene mit den Produkten aus drei Faktoren: 45 (3 × 3 × 5) und 99 (3 × 3 × 11) - Ganz oben, als größter Teiler vor 495, wäre 165 (3 × 5 × 11) - An der Spitze des Diagramms wäre die Zahl 495 selbst Für Teil b) der Aufgabe müssen wir zwei Zahlen finden, deren Hasse-Diagramme die gleiche Struktur aufweisen. Die Struktur des Hasse-Diagramms einer Zahl wird durch die Anzahl und Vielfachheit ihrer Primfaktoren bestimmt. Daher suchen wir Zahlen mit vier Primfaktoren, wobei ein Primfaktor doppelt auftritt. Beispiele für solche Zahlen könnten sein: - 2 × 2 × 7 × 13 = 364, da sie aus den Primfaktoren 2 (zweimal), 7 und 13 besteht. - 2 × 2 × 3 × 17 = 204, da sie aus den Primfaktoren 2 (zweimal), 3 und 17 besteht. Beide Zahlen haben das gleiche Strukturmuster im Hasse-Diagramm wie die Zahl 495, weil sie einen quadratischen Faktor und zwei weitere verschiedene Primfaktoren haben.
Finding the Highest Prime Number for Sieving a Range
Die Frage in dem Bild lautet: „Nach welcher Primzahl kann bei einem Zahlenfeld bis 650 [2345] mit dem Streichen aufgehört werden? Begründen Sie.“ Die Aufgabe bezieht sich auf das Sieb des Eratosthenes, eine Methode, um Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze zu ermitteln. Bei dieser Methode werden beginnend mit der Zahl 2 alle Vielfachen von Primzahlen ausgestrichen, weil Vielfache von Primzahlen (außer der Primzahl selbst) keine Primzahlen sind. Hier wird nach der höchsten Primzahl gefragt, nach deren Vielfachen man nicht mehr suchen muss, wenn man ein Zahlenfeld bis zur Zahl 650 [2345] betrachtet. Um diese Frage zu beantworten, müssen wir den größten Primfaktor finden, dessen Quadrat noch innerhalb der gegebenen Grenze liegt, da man nur bis zur Wurzel der größten Zahl im Feld streichen muss, um alle Nicht-Primzahlen zu identifizieren. Die Wurzel von 650 ist etwa 25,5. Da wir nach einer Primzahl suchen, nehmen wir die nächstniedrigere Primzahl, die kleiner als 25,5 ist, und das wäre 23. Somit können wir nach dem Streichen aller Vielfachen von Primzahlen bis einschließlich 23 sichergehen, dass alle verbleibenden Zahlen bis 650 Primzahlen sind. Die Begründung dafür ist, dass das Quadrat der nächsthöheren Primzahl, 29, bereits 841 ist, was über unserer Grenze von 650 liegt. Somit muss man keine Vielfachen von 29 oder größeren Primzahlen in unserer Liste streichen, um alle Primzahlen bis 650 zu finden. Zusammengefasst kann beim Streichen in einem Zahlenfeld bis 650 nach der Primzahl 23 aufgehört werden.
Determination of Greatest Common Divisor and Least Common Multiple
Um die Frage zu lösen, sollen wir den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Zahlen 18, 60 und 50 bestimmen. Zuerst finden wir den ggT der Zahlen 18, 60 und 50: Die Primfaktorzerlegung von 18 ist 2 × 3². Die Primfaktorzerlegung von 60 ist 2² × 3 × 5. Die Primfaktorzerlegung von 50 ist 2 × 5². Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren in ihrer kleinsten Potenz: ggT(18, 60, 50) = 2. Jetzt bestimmen wir das kgV der Zahlen 18, 60 und 50: Das kgV ist das Produkt der Primfaktoren, die in irgendeiner der Zahlen vorkommen, in der höchsten Potenz, in der sie vorkommen: kgV(18, 60, 50) = 2² × 3² × 5² = 4 × 9 × 25 = 36 × 25 = 900. Daher ist der ggT von 18, 60 und 50 gleich 2 und das kgV dieser Zahlen ist 900.
Finding Prime Numbers Using Sieve of Eratosthenes and Prime Factorization
Um alle Primzahlen von 301 bis 400 zu finden, verwenden wir das Sieb des Eratosthenes. Hier ist die schrittweise Anleitung: 1. Erstellen Sie eine Liste aller Zahlen von 301 bis 400. 2. Die Zahlen 301 bis 400 wurden bereits in der Liste bereitgestellt. 3. Beginnen Sie, die Vielfachen von jeder Primzahl unterhalb von 20 (da \( \sqrt{400} = 20 \)) zu streichen, weil wir annehmen können, dass alle Vielfachen von Zahlen, die kleiner als der Zahlenbereich sind, bereits in den vorherigen Iterationen gestrichen wurden (z.B. die Vielfachen von 2, 3, 5 usw. sind schon in den Zahlen bis 300 gestrichen worden). In unserem Fall streichen wir die verbleibenden Vielfachen von 7, 11, 13, 17 und 19. 4. Die verbleibenden Zahlen in der Liste sind alle Primzahlen von 301 bis 400. Da Ihr Bild zu klein ist, um die spezifischen Zahlen zu lesen und zu verarbeiten, gebe ich Ihnen ein fiktives Beispiel anhand einer kleineren Liste, was normalerweise bei der Liste von 301 bis 400 passieren würde: a) Streichen Sie die Vielfachen von 7: 308, 322, 336, 350, 364, 378, 392. b) Streichen Sie die Vielfachen von 11: 308, 319, 330, 341, 352, 363, 374, 385, 396. c) Streichen Sie die Vielfachen von 13: 312, 325, 338, 351, 364, 377, 390. d) Streichen Sie die Vielfachen von 17: 306, 323, 340, 357, 374, 391. e) Streichen Sie die Vielfachen von 19: 304, 323, 342, 361, 380, 399. Die Zahlen, die nach dem Streichen von Vielfachen dieser Primzahlen übrig bleiben, sind die Primzahlen im Bereich von 301 bis 400. Für den dritten Teil der Frage nach einer Primzahl, die man von der Zahl 2534 streichen kann, müssen wir zuerst die Primfaktorzerlegung für 2534 durchführen: 1. Beginnen Sie mit der kleinsten Primzahl, 2: 2534 ist eine gerade Zahl, also ist 2 ein Faktor. \( 2534 / 2 = 1267 \). 2. 1267 ist keine gerade Zahl, also gehen Sie zur nächsten Primzahl, 3: 1267 ist nicht durch 3 teilbar. 3. Fahren Sie fort mit der Primzahl 5: 1267 endet nicht auf eine 5 oder 0, also ist es nicht teilbar durch 5. 4. Prüfen Sie die nächste Primzahl, 7. 5. Fahren Sie fort mit den Primzahlen 11, 13 und so weiter, bis Sie einen Faktor finden oder bestätigen können, dass die Zahl selbst prim ist. Da 1267 keine niedrigeren Primfaktoren hat (ohne tiefere Faktorisierung, die ich aufgrund der Bildbeschränkungen nicht durchführen kann), nehmen wir an, dass 1267 eine Primzahl ist. Also, wenn wir von der Zahl 2534 die Ziffer 5 abziehen, erhalten wir die Primzahl 234, was nicht korrekt wäre. Hier hat ein Fehler im Prozess stattgefunden, da der nächste Schritt normalerweise der Versuch wäre, die Zahl 1267 weiter zu faktorisieren. Ohne Bildverarbeitung und manuelle Berechnung kann ich Ihnen nicht die genaue Antwort geben. Sollten Sie eine zuverlässige Faktorisierung wünschen, müssten Sie die Zahl 1267 manuell prüfen oder ein Rechenwerkzeug dafür nutzen.
Finding Greatest Common Divisor (gcd) and Least Common Multiple (lcm) of Numbers 60 and 75
Um ein gemeinsames Hasse-Diagramm der Zahlen 60 und 75 zu erstellen und den größten gemeinsamen Teiler (ggT) sowie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser beiden Zahlen zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: Zuerst bestimmen wir die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen: 60 = 2^2 * 3 * 5 75 = 3 * 5^2 Um den ggT zu finden, nehmen wir die Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, jeweils in der niedrigsten Potenz: ggT(60, 75) = 3 * 5 = 15 Für das kgV nehmen wir die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen und wählen jeweils die höchste Potenz: kgV(60, 75) = 2^2 * 3 * 5^2 = 4 * 3 * 25 = 300 Das Hasse-Diagramm, das die Teilerstruktur dieser Zahlen veranschaulicht, enthält alle Teiler von 60 und 75, wobei Linien zwischen den Zahlen gezeichnet werden, wenn eine Zahl ein Teiler der anderen ist. Da das Erstellen eines Hasse-Diagramms in Textform schwierig ist, würde es normalerweise grafisch dargestellt werden. Man würde sehen, dass 15 der größte gemeinsame Teiler von 60 und 75 ist und folglich im Diagramm an einer Stelle erscheint, die direkt unter beiden Zahlen liegt, während das kleinste gemeinsame Vielfache 300 am oberen Rand des Diagramms wäre, über beiden Zahlen. Ein Venn-Diagramm hingegen stellt die gemeinsamen und individuellen Primfaktoren dar und erleichtert das visuelle Identifizieren von ggT und kgV. In einem Venn-Diagramm würden sich die Kreise für 60 und 75 in den Primfaktoren 3 und 5 überschneiden, was dem ggT entspricht. Die Kombination aller einzigartigen und geteilten Primfaktoren würde das kgV ergeben.
Calculation of Greatest Common Divisor (gcd) of Multiple Numbers
Die Aufgabe befasst sich mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) mehrerer Zahlen. Der ggT von zwei oder mehr ganzen Zahlen, die nicht alle null sind, ist die größte Zahl, die alle Zahlen ohne Rest teilt. a. ggT(18, 20, 28, 30) Um den größten gemeinsamen Teiler von 18, 20, 28 und 30 zu finden, müssen wir den ggT von jeweils zwei Zahlen mehrmals berechnen, bis wir zum ggT aller vier Zahlen kommen. Beginnen wir mit 18 und 20. Die Zahlen lassen sich durch ihre Primfaktorzerlegung in ggT umrechnen: 18 = 2 * 3^2 20 = 2^2 * 5 Der ggT von 18 und 20 ist 2, da 2 der einzige gemeinsame Faktor ist. Jetzt nehmen wir den ggT(2, 28): 28 = 2^2 * 7 Der ggT von 2 und 28 ist ebenfalls 2. Jetzt finden wir den ggT(2, 30): 30 = 2 * 3 * 5 Der ggT von 2 und 30 ist wiederum 2. Somit ist der ggT(18, 20, 28, 30) = 2. b. ggT(9, 24, 36) 9 = 3^2 24 = 2^3 * 3 36 = 2^2 * 3^2 Der ggT von 9 und 24 ist 3, und der ggT von 3 und 36 ist auch 3. Also ist der ggT(9, 24, 36) = 3. c. ggT(12, 18, 29) 12 = 2^2 * 3 18 = 2 * 3^2 29 ist eine Primzahl und hat somit keine weiteren Teiler außer 1 und sich selbst. Der ggT von 12 und 18 ist 6. Da 29 eine Primzahl ist und nicht durch 6 teilbar ist, ist der ggT von 6 und 29 = 1. Somit ist der ggT(12, 18, 29) = 1. Zusammengefasst haben wir also: a. ggT(18, 20, 28, 30) = 2 b. ggT(9, 24, 36) = 3 c. ggT(12, 18, 29) = 1
Calculating Least Common Multiples using Prime Factorization
Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der gegebenen Zahlen mit Hilfe ihrer Primfaktorzerlegung bestimmen. a) kgV(55, 125) Zuerst zerlegen wir beide Zahlen in ihre Primfaktoren: 55 = 5 * 11 125 = 5^3 Das kgV von diesen Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen jedes Primfaktors, die in mindestens einer der Zahlen vorkommt: kgV(55, 125) = 5^3 * 11 = 5 * 5 * 5 * 11 = 2750 b) kgV(92, 132) Zerlegen wir diese Zahlen in ihre Primfaktoren: 92 = 2^2 * 23 132 = 2^2 * 3 * 11 Das kleinste gemeinsame Vielfache ist nun das Produkt der höchsten Potenzen jedes Primfaktors: kgV(92, 132) = 2^2 * 3 * 11 * 23 = 4 * 3 * 11 * 23 = 3036 c) kgV(4842, 17722) Die Primfaktorzerlegung für diese Zahlen lautet: 4842 = 2 * 2411 17722 = 2 * 8861 2411 und 8861 sind beide Primzahlen und treten nicht in der Faktorzerlegung der anderen Zahl auf, also: kgV(4842, 17722) = 2 * 2411 * 8861 = 42678182 Das sind die kleinsten gemeinsamen Vielfachen der gegebenen Zahlen.
Determining the Number of Divisors and Tenfold Powers
Die Frage im Bild lautet: "Wie viele Teiler hat 100? Welche Zehnerpotenz hat neunmal so viele Teiler wie die 100?" Um diese Frage zu beantworten, müssen wir zuerst die Anzahl der Teiler von 100 berechnen und dann eine Zehnerpotenz finden, die neunmal so viele Teiler hat. Die Zahl 100 ist eine Quadratzahl, da 100 = 10^2 ist und 10 = 2 * 5. Das bedeutet, 100 = 2^2 * 5^2. Die Anzahl der Teiler einer Zahl können wir bestimmen, indem wir die Exponenten in der Primfaktorzerlegung um 1 erhöhen und dann alle erhöhten Exponenten miteinander multiplizieren. Da 100 = 2^2 * 5^2 ist, gibt es (2+1)*(2+1) = 3*3 = 9 Teiler. Um die Zehnerpotenz zu finden, die neunmal so viele Teiler hat, suchen wir also nach einer Zahl mit 9*9 = 81 Teilern. Eine Zehnerpotenz hat die Form 10^n = (2*5)^n = 2^n * 5^n. Wir benötigen also eine Primfaktorzerlegung, bei der das Produkt der um 1 erhöhten Exponenten 81 ist. Da 81 eine Potenz von 9 ist (81 = 9² = 3^4), müssen wir eine Zehnerpotenz finden, bei der sowohl der Exponent von 2 als auch der von 5 jeweils um 1 erhöht 4 ist. Das würde sein: (n+1) * (n+1) = 81, also n+1 = 9, was bedeutet, dass n = 8. Die Zehnerpotenz, die neunmal so viele Teiler wie 100 hat, ist 10^8. Diese Zehnerpotenz, 10^8, hat demnach 81 Teiler.
Number Theory: Teiler and Primfaktor
Die Aufgabe hier lautet: 7. Begründen oder widerlegen Sie. (Denken Sie daran: Erst mehrere Beispiele versuchen!) a. Wenn \( n \) nur einen Primfaktor hat, dann hat \( n \) genau vier Teiler. b. Wenn \( n \) 13 Teiler hat, dann ist \( n \) nur durch eine Primzahl teilbar. c. Wenn vier verschiedene Primzahlen \( p, q, r, s \) existieren, dann hat \( n \) mindestens 16 Teiler. Um diese Behauptungen zu überprüfen, betrachten wir jeweils Beispiele und wenden unser Wissen über Teiler und Primzahlen an. a. Diese Aussage ist wahr, wenn \( n \) eine Primzahl \( p \) in der dritten Potenz ist, also \( n = p^3 \). Die Teiler von \( n \) wären in diesem Fall: 1, \( p \), \( p^2 \), und \( p^3 \). Ein Beispiel hierfür ist \( n = 2^3 = 8 \), welche die Teiler 1, 2, 4, und 8 hat - also genau vier Teiler. b. Diese Aussage ist falsch. Die Anzahl der Teiler einer Zahl \( n \) kann berechnet werden, indem man die Exponenten ihrer Primfaktorzerlegung um eins erhöht und die Ergebnisse miteinander multipliziert. Wenn \( n \) 13 Teiler hat, dann ist eine mögliche Faktorisierung \( n = p^{12} \), da 12 + 1 = 13. Eine andere Möglichkeit wäre das Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen in speziellen Potenzen, wie etwa \( n = p^2 \times q^4 \), da (2 + 1) × (4 + 1) = 3 × 5 = 15, also ist dieser spezifische Fall auch nicht korrekt. Eine Zahl mit genau 13 Teilern muss allerdings die Form \( n = p^{12} \) haben, da 13 eine Primzahl ist und die Anzahl der Teiler der Form \( k + 1 \) sein muss, wo \( k \) der Exponent in der Primfaktorzerlegung ist. c. Diese Aussage ist wahr. Wenn \( n \) das Produkt von vier verschiedenen Primzahlen ist, also \( n = pqrs \), dann hat \( n \) die Teiler 1, \( p \), \( q \), \( r \), \( s \), \( pq \), \( pr \), \( ps \), \( qr \), \( qs \), \( rs \), \( pqr \), \( pqs \), \( prs \), \( qrs \), und \( pqrs \). Das sind insgesamt 16 verschiedene Teiler, ohne dass man irgendwelche Primzahlen in einer höheren Potenz als eins hat. Daher hat \( n \) mindestens 16 Teiler, wenn vier verschiedene Primzahlen existieren. Hoffentlich hilft Ihnen diese Erklärung, die Aussagen zu begründen oder zu widerlegen.
Finding the Smallest Divisible Number
Um die kleinste Zahl zu finden, die durch 9, 15, 24 und 125 teilbar ist, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen bestimmen. Das kgV ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller Zahlen in der Menge ist. In diesem Fall müssen wir das kgV von 9, 15, 24 und 125 herausfinden. Um das kgV zu finden, beginnen wir damit, die Primfaktorzerlegung für jede der gegebenen Zahlen vorzunehmen: - 9 = 3^2 - 15 = 3 × 5 - 24 = 2^3 × 3 - 125 = 5^3 Nun nehmen wir jeden Primfaktor in der höchsten Potenz, die in jeder Zerlegung vorkommt: - 2^3 (weil 24 der höchste Exponent von 2 ist), - 3^2 (weil 9 der höchste Exponent von 3 ist), - 5^3 (weil 125 der höchste Exponent von 5 ist). Nun multiplizieren wir diese Primfaktoren, um das kgV zu erhalten: kgV = 2^3 × 3^2 × 5^3 = 8 × 9 × 125 = 72 × 125 = 9000 Die kleinste Zahl, die durch 9, 15, 24 und 125 teilbar ist, ist also 9000.
Finding the Least Common Multiple (LCM)
Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir den kleinsten gemeinsamen Teiler (KGT) der Zahlen 24, 45 und 250 finden. Der KGT ist die kleinste Zahl, die durch alle drei Zahlen ohne Rest teilbar ist. Das ist ähnlich wie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), jedoch ist es wichtig zu bemerken, dass hier nach einer konkreten Zahl gefragt ist, die diese Zahlen als Teiler hat, nicht nur eine Beziehung zwischen ihnen. Hier ist, wie man den KGT finden kann: 1. Zerlege jede Zahl in ihre Primfaktoren. - 24 = 2^3 * 3 - 45 = 3^2 * 5 - 250 = 2 * 5^3 2. Wähle von jedem Primfaktor den höchsten Exponenten, der in jeder Zerlegung vorkommt. - Für 2 ist der höchste Exponent 3 (aus 24). - Für 3 ist der höchste Exponent 2 (aus 45). - Für 5 ist der höchste Exponent 3 (aus 250). 3. Multipliziere diese Primfaktoren mit ihren höchsten Exponenten, um den KGT zu bekommen. - KGT = 2^3 * 3^2 * 5^3 - KGT = 8 * 9 * 125 - KGT = 72 * 125 - KGT = 9000 Die kleinste mögliche Zahl, die 24, 45 und 250 als Teiler hat, ist 9000.
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