Question - Determining the Number of Divisors and Tenfold Powers
Solution:
Die Frage im Bild lautet: "Wie viele Teiler hat 100? Welche Zehnerpotenz hat neunmal so viele Teiler wie die 100?"Um diese Frage zu beantworten, müssen wir zuerst die Anzahl der Teiler von 100 berechnen und dann eine Zehnerpotenz finden, die neunmal so viele Teiler hat.Die Zahl 100 ist eine Quadratzahl, da 100 = 10^2 ist und 10 = 2 * 5. Das bedeutet, 100 = 2^2 * 5^2. Die Anzahl der Teiler einer Zahl können wir bestimmen, indem wir die Exponenten in der Primfaktorzerlegung um 1 erhöhen und dann alle erhöhten Exponenten miteinander multiplizieren. Da 100 = 2^2 * 5^2 ist, gibt es (2+1)*(2+1) = 3*3 = 9 Teiler. Um die Zehnerpotenz zu finden, die neunmal so viele Teiler hat, suchen wir also nach einer Zahl mit 9*9 = 81 Teilern.Eine Zehnerpotenz hat die Form 10^n = (2*5)^n = 2^n * 5^n. Wir benötigen also eine Primfaktorzerlegung, bei der das Produkt der um 1 erhöhten Exponenten 81 ist.Da 81 eine Potenz von 9 ist (81 = 9² = 3^4), müssen wir eine Zehnerpotenz finden, bei der sowohl der Exponent von 2 als auch der von 5 jeweils um 1 erhöht 4 ist. Das würde sein: (n+1) * (n+1) = 81, also n+1 = 9, was bedeutet, dass n = 8.Die Zehnerpotenz, die neunmal so viele Teiler wie 100 hat, ist 10^8. Diese Zehnerpotenz, 10^8, hat demnach 81 Teiler.
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