Example Question - calculus
Here are examples of questions we've helped users solve.
Piecewise Function Analysis
<p>Para analizar la función dada, vamos a considerar los dos casos.</p> <p>Para \( x > 1 \):</p> <p>\( f(x) = \frac{x^3 - a^3}{x - a} \)</p> <p>Este se puede simplificar usando la factorización de la diferencia de cubos:</p> <p>\( f(x) = \frac{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}{x - a} = x^2 + ax + a^2 \) (para \( x \neq a \)).</p> <p>Para \( x < 1 \):</p> <p>\( f(x) = \frac{3\sqrt{x} - 3\sqrt{a}}{x - a} \)</p> <p>Podemos factorizar el numerador de la misma manera si es necesario para un análisis adicional.</p> <p>La continuidad de la función puede revisarse evaluando el límite de ambas ramas en \( x = 1 \) y comparando los valores de \( f(1) \) en ambas partes si se define.</p>
Finding the Nth Derivatives of Various Functions
<p>\textbf{(a) } \frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{x^{n+1}}{x^2+7x+12} \right)</p> <p>\text{As this is a rational function, the nth derivative would typically require applying the quotient rule repeatedly, which is complex and not straightforward without a specific value for } n.</p> <p>\textbf{(b) } \frac{d^n}{dx^n} ( \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x)</p> <p>\text{This product of trigonometric functions would require using the product rule iteratively in combination with trigonometric identities.}</p> <p>\textbf{(c) } \frac{d^n}{dx^n} (\sin x^{2} \cdot \cos x)</p> <p>\text{Applying Leibniz's rule for differentiation of the product of two functions multiple times would be needed here.}</p> <p>\textbf{(d)}\text{ This part of the question is incomplete as the function to differentiate is not provided.}</p> <p>\text{For parts (b) and (c), without additional information on the value of } n, \text{ it is not feasible to provide a general nth derivative. Additionally, part (d) lacks the necessary information to perform any derivative.}</p>
Definite Integral of the Square of Secant Function
<p>La función secante al cuadrado, \( \sec^2(x) \), es la derivada de la función tangente, \( \tan(x) \). Por lo tanto, para resolver esta integral definida, podemos aplicar la regla fundamental del cálculo que dice que la integral de la derivada de una función en un intervalo es igual a la diferencia de los valores de la función en los extremos del intervalo:</p> <p>\[ \int_{0}^{4} \sec^2 x \, dx = \tan(x) \Big|_{0}^{4} \]</p> <p>Calculamos los valores de \( \tan(x) \) en \( x = 4 \) y \( x = 0 \) y encontramos la diferencia:</p> <p>\[ = \tan(4) - \tan(0) \]</p> <p>Sin embargo, notarás que hay un problema al querer evaluar \( \tan(4) \), ya que 4 radianes está muy cerca de \( \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \) y la función tangente no está definida en \( \frac{\pi}{2} + n\pi \), donde \( n \) es cualquier número entero. Al sustituir \( x = 4 \) en la función tangente, obtendremos un valor no definido, lo que significa que la integral no converge en ese punto.</p> <p>Por ende, debido a la discontinuidad en \( x = 4 \), no podemos obtener un valor numérico real para esta integral definida con los límites dados de \( 0 \) a \( 4 \). Si se cometió un error al escribir los límites de integración y se trataba de un intervalo donde la función tangente es continua, los pasos a seguir para resolverla serían correctos.</p>
Finding the Limit as x Approaches Infinity
\[ \begin{align*} 2 \cdot \lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{1}{2x} \right) &= 2 \cdot \lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \right) \\ &= 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} \right) \\ &= 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 0 \right) \\ &= 2 \cdot 0 \\ &= 0 \end{align*} \]
Approaching Limits Problem
<p>L'expression est : \(\lim_{{x \to +\infty}} 2 \left(\frac{1}{2x}\right)\)</p> <p>Pour résoudre cette limite, nous pouvons simplifier l'expression :</p> <p>\(\lim_{{x \to +\infty}} 2 \left(\frac{1}{2x}\right) = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{2}{2x}\)</p> <p>Nous pouvons simplifier davantage en divisant par 2 :</p> <p>\(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{2}{2x} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x}\)</p> <p>Lorsque \(x\) tend vers l'infini, \(\frac{1}{x}\) tend vers 0. Donc la limite est :</p> <p>\(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} = 0\)</p>
Analysis of a Limit as x Approaches Infinity
<p>\[ \lim_{{x \to +\infty}} \frac{2}{x} = \frac{2}{+\infty} \]</p> <p>\[ = 0 \]</p>
Evaluating the Limit of a Function as x Approaches Infinity
<p>La question demande d'évaluer la limite suivante :</p> <p>\[2 \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right)\]</p> <p>Pour résoudre cette limite, on suit les étapes suivantes :</p> <p>\[2 \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right) = 2 \cdot \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right)\]</p> <p>Étant donné que \(\frac{1}{2x}\) tend vers 0 lorsque \(x\) tend vers l'infini :</p> <p>\[\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right) = 0\]</p> <p>On obtient donc :</p> <p>\[2 \cdot 0 = 0\]</p> <p>La réponse est donc 0.</p>
Limit Calculation at Infinity
\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x + 1}}{{4x + 5}} = \frac{{\frac{{2x}}{{x}} + \frac{{1}}{{x}}}}{{\frac{{4x}}{{x}} + \frac{{5}}{{x}}}} \] \[ = \frac{{2 + \frac{{1}}{{x}}}}{{4 + \frac{{5}}{{x}}}} \] \[ = \frac{{2}}{{4}} \quad \text{quand } x \to \infty \] \[ = \frac{1}{2} \]
Trigonometric and Logarithmic Equations
<p>\text{Given the equations:}</p> <p>[1]\: y = \sin^3{x} + \csc^5{x^3} + \tan^5{ \left( \sqrt{x^2 + 1^3} \right)}</p> <p>\text{Differentiate equation [1] with respect to } x:</p> <p>\frac{d}{dx}y = 3\sin^2{x}\cos{x} - 5\csc^6{x^3}(3x^2)\cot{x^3} + 5\tan^4{ \left( \sqrt{x^2 + 1^3} \right) }\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1^3}}(2x)(1+\tan^2{ \left( \sqrt{x^2 + 1^3} \right) })</p> <p>[2]\: y = x\cos(\ln{x}) + 10\sec{(\sqrt{x})}</p> <p>\text{Differentiate equation [2] with respect to } x:</p> <p>\frac{d}{dx}y = \cos(\ln{x}) - x\sin(\ln{x})\frac{1}{x} + 10\sec{(\sqrt{x})}\tan{(\sqrt{x})}\frac{1}{2\sqrt{x}}</p> <p>[3]\: y = \frac{\sin{(x^2-1)}}{x} + \cos{(\cos{x})^2} - 2\cot{(x^{-3})}</p> <p>\text{Differentiate equation [3] with respect to } x:</p> <p>\frac{d}{dx}y = \frac{x(2x)\cos{(x^2 - 1)} - \sin{(x^2 - 1)}}{x^2} - 2\cos{(\cos{x})}\sin{x}(-\sin{x}) + 2\csc^2{(x^{-3})}(3x^{-4})</p>
Calculate the Derivative of a Trigonometric Function
<p>\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(sin^3(x) + \csc^5(x) + \tan^5(\sqrt{x^2 + 1}))</p> <p>\frac{dy}{dx} = 3sin^2(x)cos(x) - 5\csc^6(x)\cot(x) + 5\tan^4(\sqrt{x^2 + 1})(\sec^2(\sqrt{x^2 + 1}))\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})</p> <p>\frac{dy}{dx} = 3sin^2(x)cos(x) - 5\csc^6(x)\cot(x) + 5\tan^4(\sqrt{x^2 + 1})(\sec^2(\sqrt{x^2 + 1}))\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}(2x)</p> <p>\frac{dy}{dx} = 3sin^2(x)cos(x) - 5\csc^6(x)\cot(x) + 5x\tan^4(\sqrt{x^2 + 1})(\sec^2(\sqrt{x^2 + 1}))(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}})</p>
Evaluating the Limit of a Function as It Approaches a Point
<p>The expression given is the definition of the derivative of \(\sqrt{x}\) evaluated at \(x=8\), which can be calculated as follows:</p> <p>\(\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\) at \(x=8\)</p> <p>Let's apply the definition of the derivative for \(f(x) = \sqrt{x}\) at \(x = 8\):</p> <p>\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)</p> <p>\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\)</p> <p>To evaluate the limit, multiply the numerator and the denominator by the conjugate of the numerator:</p> <p>\(= \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)</p> <p>\(= \lim_{h \to 0} \frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)</p> <p>\(= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)</p> <p>\(= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\)</p> <p>Now plug in \(x = 8\):</p> <p>\(f'(8) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{8+h} + \sqrt{8}}\)</p> <p>\(= \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{8}}\)</p> <p>\(= \frac{1}{2\sqrt{8}}\)</p> <p>\(= \frac{1}{4\sqrt{2}}\)</p> <p>\(= \frac{\sqrt{2}}{8}\)</p> <p>Therefore, the limit and the derivative of \(\sqrt{x}\) at \(x = 8\) is \(\frac{\sqrt{2}}{8}\).</p>
Analysis of a Trigonometric Function
<p>Задача связана с анализом графика тригонометрической функции и определением соответствующих углов и значения функции.</p> <p>Для решения используем свойства тригонометрических функций и их графиков.</p> <p>Сначала нужно определить, для каких x функция \( f(x) = 3\cos(x) - 1 \) положительна.</p> <p>Функция \( \cos(x) \) положительна в первом и четвертом квадрантах, т.е. \( \cos(x) > 0 \) для \( -\pi/2 + 2k\pi < x < \pi/2 + 2k\pi \), где \( k \) — целое число.</p> <p>Теперь рассмотрим уравнение \( 3\cos(x) - 1 = 0 \) и найдем его корни.</p> <p>\( 3\cos(x) = 1 \)</p> <p>\( \cos(x) = \frac{1}{3} \)</p> <p>Поскольку \( \cos(x) \) является убывающей функцией от \( 0 \) до \( \pi \), и \( \frac{1}{3} \) находится между \( \cos(0) = 1 \) и \( \cos(\pi/2) = 0 \), корень уравнения будет находиться в этом интервале. Обозначим его \( x_0 \), и тогда \( x_0 \in (0, \pi/2) \).</p> <p>Функция \( f(x) \) будет положительной слева и справа от точки \( x_0 \) на интервалах, где \( \cos(x) > 0 \). Тогда:</p> <p>\( f(x) > 0 \) для \( 2k\pi < x < x_0 + 2k\pi \) и \( x_0 + 2k\pi < x < \pi + 2k\pi \).</p> <p>Для нахождения точной величины \( x_0 \), нужно решить тригонометрическое уравнение, для чего можно воспользоваться численными методами или приближенными вычислениями, так как точное аналитическое решение в элементарных функциях получить невозможно.</p>
Finding the Derivative of a Rational Function
<p>Дана функция \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{2x^2 + 4} \). Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования частного:</p> <p>Пусть \( u(x) = x^2 - 4 \) и \( v(x) = 2x^2 + 4 \), тогда \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \).</p> <p>Производная \( u \) по \( x \): \( u'(x) = 2x \).</p> <p>Производная \( v \) по \( x \): \( v'(x) = 4x \).</p> <p>Теперь используем правило дифференцирования частного \( (u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):</p> <p>\[ f'(x) = \frac{(2x)(2x^2 + 4) - (x^2 - 4)(4x)}{(2x^2 + 4)^2} \]</p> <p>Упрощаем выражение:</p> <p>\[ f'(x) = \frac{(4x^3 + 8x) - (4x^3 - 16x)}{(2x^2 + 4)^2} \]</p> <p>\[ f'(x) = \frac{4x^3 + 8x - 4x^3 + 16x}{(2x^2 + 4)^2} \]</p> <p>\[ f'(x) = \frac{24x}{(2x^2 + 4)^2} \]</p> <p>Можно дополнительно упростить, вынеся константу за скобки:</p> <p>\[ f'(x) = \frac{24x}{4(x^2 + 2)^2} \]</p> <p>\[ f'(x) = \frac{6x}{(x^2 + 2)^2} \]</p> <p>Это и есть производная функции \( f(x) \).</p>
Calculation of a Function's Derivative
Дадената функция е: <p>\( y = \frac{x^5 - 4}{x^2 - 4x} \)</p> За да намерим производната \( y' \), ще приложим правилото за частно (quotient rule): <p>\( y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \)</p> където \( u = x^5 - 4 \) и \( v = x^2 - 4x \). След това намираме \( u' \) и \( v' \): <p>\( u' = 5x^4 \)</p> <p>\( v' = 2x - 4 \)</p> Сега изчисляваме производната \( y' \) чрез заместване на \( u', u, v', v \): <p>\( y' = \frac{(5x^4)(x^2 - 4x) - (x^5 - 4)(2x - 4)}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{5x^6 - 20x^5 - (2x^6 - 4x^5 - 8x + 16)}{x^4 - 8x^3 + 16x^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{5x^6 - 20x^5 - 2x^6 + 4x^5 + 8x - 16}{x^4 - 8x^3 + 16x^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{3x^6 - 16x^5 + 8x - 16}{x^4 - 8x^3 + 16x^2} \)</p> Това е производната на функцията.
Calculating the Derivative of a Rational Function
Пусть функция \( y \) задана как \( y = \frac{x^5 - 4}{x^2 - 4x} \). Тогда ее производная \( y' \) может быть найдена с использованием правила дифференцирования частного: <p>\( y' = \frac{(x^2 - 4x)'(x^5 - 4) - (x^5 - 4)'(x^2 - 4x)}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{(2x - 4)(x^5 - 4) - (5x^4)(x^2 - 4x)}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> Теперь раскроем скобки в числителе: <p>\( y' = \frac{2x^6 - 8x - 4x^5 + 16 - 5x^6 + 20x^5}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{-3x^6 + 12x^5 - 8x + 16}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> Это и будет искомая производная функции \( y \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com