Question - Finding the Derivative of a Rational Function

Дана функция \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{2x^2 + 4} \). Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования частного:

Пусть \( u(x) = x^2 - 4 \) и \( v(x) = 2x^2 + 4 \), тогда \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \).

Производная \( u \) по \( x \): \( u'(x) = 2x \).

Производная \( v \) по \( x \): \( v'(x) = 4x \).

Теперь используем правило дифференцирования частного \( (u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):

\[ f'(x) = \frac{(2x)(2x^2 + 4) - (x^2 - 4)(4x)}{(2x^2 + 4)^2} \]

Упрощаем выражение:

\[ f'(x) = \frac{(4x^3 + 8x) - (4x^3 - 16x)}{(2x^2 + 4)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{4x^3 + 8x - 4x^3 + 16x}{(2x^2 + 4)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{24x}{(2x^2 + 4)^2} \]

Можно дополнительно упростить, вынеся константу за скобки:

\[ f'(x) = \frac{24x}{4(x^2 + 2)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{6x}{(x^2 + 2)^2} \]

Это и есть производная функции \( f(x) \).