Question - Definite Integral of the Square of Secant Function

La función secante al cuadrado, \( \sec^2(x) \), es la derivada de la función tangente, \( \tan(x) \). Por lo tanto, para resolver esta integral definida, podemos aplicar la regla fundamental del cálculo que dice que la integral de la derivada de una función en un intervalo es igual a la diferencia de los valores de la función en los extremos del intervalo:

\[ \int_{0}^{4} \sec^2 x \, dx = \tan(x) \Big|_{0}^{4} \]

Calculamos los valores de \( \tan(x) \) en \( x = 4 \) y \( x = 0 \) y encontramos la diferencia:

\[ = \tan(4) - \tan(0) \]

Sin embargo, notarás que hay un problema al querer evaluar \( \tan(4) \), ya que 4 radianes está muy cerca de \( \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \) y la función tangente no está definida en \( \frac{\pi}{2} + n\pi \), donde \( n \) es cualquier número entero. Al sustituir \( x = 4 \) en la función tangente, obtendremos un valor no definido, lo que significa que la integral no converge en ese punto.

Por ende, debido a la discontinuidad en \( x = 4 \), no podemos obtener un valor numérico real para esta integral definida con los límites dados de \( 0 \) a \( 4 \). Si se cometió un error al escribir los límites de integración y se trataba de un intervalo donde la función tangente es continua, los pasos a seguir para resolverla serían correctos.