Question - Analysis of a Trigonometric Function

Задача связана с анализом графика тригонометрической функции и определением соответствующих углов и значения функции.

Для решения используем свойства тригонометрических функций и их графиков.

Сначала нужно определить, для каких x функция \( f(x) = 3\cos(x) - 1 \) положительна.

Функция \( \cos(x) \) положительна в первом и четвертом квадрантах, т.е. \( \cos(x) > 0 \) для \( -\pi/2 + 2k\pi < x < \pi/2 + 2k\pi \), где \( k \) — целое число.

Теперь рассмотрим уравнение \( 3\cos(x) - 1 = 0 \) и найдем его корни.

\( 3\cos(x) = 1 \)

\( \cos(x) = \frac{1}{3} \)

Поскольку \( \cos(x) \) является убывающей функцией от \( 0 \) до \( \pi \), и \( \frac{1}{3} \) находится между \( \cos(0) = 1 \) и \( \cos(\pi/2) = 0 \), корень уравнения будет находиться в этом интервале. Обозначим его \( x_0 \), и тогда \( x_0 \in (0, \pi/2) \).

Функция \( f(x) \) будет положительной слева и справа от точки \( x_0 \) на интервалах, где \( \cos(x) > 0 \). Тогда:

\( f(x) > 0 \) для \( 2k\pi < x < x_0 + 2k\pi \) и \( x_0 + 2k\pi < x < \pi + 2k\pi \).

Для нахождения точной величины \( x_0 \), нужно решить тригонометрическое уравнение, для чего можно воспользоваться численными методами или приближенными вычислениями, так как точное аналитическое решение в элементарных функциях получить невозможно.