Example Question - trigonometric identities
Here are examples of questions we've helped users solve.
Challenging Trigonometric Identities and Proofs
<p>The image is not clear enough to provide a full solution to a specific problem, but I will provide a general approach to solving trigonometric identities and proofs.</p> <p>1. Identify the trigonometric identity or equation you need to prove or solve.</p> <p>2. Use known trigonometric identities such as sin^2(x) + cos^2(x) = 1, tan(x) = sin(x)/cos(x), and 1 + tan^2(x) = sec^2(x) to manipulate the equation.</p> <p>3. Substitute trigonometric functions with equivalent expressions when possible.</p> <p>4. Factor and simplify the expressions where necessary.</p> <p>5. Check if the obtained equation satisfies the identity or theorem you are proving.</p> <p>Due to the unclear nature of the image, this is a general method for tackling trigonometric problems rather than a solved equation from the image.</p>
Resolution of Trigonometric Expression
Claro, vamos a resolver la expresión matemática que aparece en la imagen: La expresión es: \[ sin(40°) \cdot cos(10°) - 10° \cdot cos(40°) \] Para resolver esta expresión, necesitamos aplicar fórmulas de ángulos notables y propiedades de las funciones trigonométricas. Sin embargo, hay un pequeño error en la expresión: la multiplicación de "10°" por "cos(40°)" no tiene sentido desde el punto de vista matemático, ya que "10°" es una medida angular y no puede multiplicarse de manera directa por la función trigonométrica "cos()". Probablemente se trata de un error de tipografía o interpretación. Si lo interpretamos de esta manera: \[ sin(40°) \cdot cos(10°) - \cancel{10°} \cdot cos(40°) \] Donde solamente ignoramos el "10°", la expresión a resolver sería: \[ sin(40°) \cdot cos(10°) - cos(40°) \] Usando las relaciones de ángulos complementarios, \( sin(40°) \) es igual a \( cos(50°) \), y dicha relación puede ser aplicada para convertir seno a coseno en ángulos que sumados dan 90 grados. Así que nuestra expresión se transformaría en: \[ cos(50°) \cdot cos(10°) - cos(40°) \] No obstante, sin una identidad trigonométrica que nos permita simplificar directamente esta expresión, necesitaríamos usar una calculadora para obtener el valor numérico de los cosenos y realizar la operación. Multiplique los valores correspondientes de \(cos(50°)\) y \(cos(10°)\), y sustráigalos del valor de \(cos(40°)\). Si prefieres, puedes proporcionar más información o corregir la fórmula para poder asistirte con la solución correcta.
Finding Tangent of Complementary Angle in Right Triangle
Para resolver esta pregunta, utilizaremos las identidades trigonométricas y la información proporcionada por el triángulo en la imagen. El triángulo ABC que se muestra es un triángulo rectángulo con un ángulo α en A, donde AB (el cateto adyacente a α) es 2 y BC (el cateto opuesto a α) es 1. La hipotenusa AC es √5. Queremos encontrar el valor de tan(π/2 - α). Primero, recordemos que: tan(θ) = cateto opuesto / cateto adyacente. Para el ángulo α en el triángulo, esto sería: tan(α) = BC / AB = 1 / 2. Ahora, recordemos la identidad trigonométrica para el ángulo complementario: tan(π/2 - θ) = cot(θ). Cotangente es simplemente el recíproco de la tangente, por lo que: cot(α) = 1 / tan(α) = AB / BC = 2 / 1. Ahora que sabemos que tan(π/2 - α) es igual a cot(α), podemos sustituir los valores que hemos calculado: tan(π/2 - α) = cot(α) = 2. Por lo tanto, el valor de tan(π/2 - α) basado en la información del triángulo proporcionada en la imagen es 2.
Finding the Value of Cosine of Double Arcsine
Claro, vamos a encontrar el valor del coseno de menos dos veces el arco seno de tres quintos. Para esto, utilizaremos algunas identidades trigonométricas. Supongamos \(\theta = \arcsin(\frac{3}{5})\). Entonces, por definición, \(\sin(\theta) = \frac{3}{5}\). Debido a que utilizaremos el coseno de \(-2\theta\), trabajaremos primero encontrando el coseno de \(\theta\) con la ayuda de la identidad fundamental de la trigonometría \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\). \(1. \sin(\theta) = \frac{3}{5}\) \(2. \sin^2(\theta) = (\frac{3}{5})^2\) \(3. \sin^2(\theta) = \frac{9}{25}\) Aplicamos la identidad fundamental de la trigonometría: \(4. \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\) \(5. \frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1\) \(6. \cos^2(\theta) = \frac{16}{25}\) \(7. \cos(\theta) = \pm\frac{4}{5}\) Como el arco seno de un valor está entre \(-\frac{\pi}{2}\) y \(\frac{\pi}{2}\), el coseno es positivo. Por lo tanto, \(8. \cos(\theta) = \frac{4}{5}\) Ahora, encontramos el coseno del doble ángulo utilizando la identidad para el coseno de un doble ángulo: \(9. \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\) Sustituimos \(\cos(\theta)\) con el valor que calculamos: \(10. \cos(2\theta) = 2(\frac{4}{5})^2 - 1\) \(11. \cos(2\theta) = 2(\frac{16}{25}) - 1\) \(12. \cos(2\theta) = \frac{32}{25} - 1\) \(13. \cos(2\theta) = \frac{32}{25} - \frac{25}{25}\) \(14. \cos(2\theta) = \frac{7}{25}\) Finalmente, como queremos el valor del coseno de menos dos veces \(\theta\), usamos la propiedad de paridad del coseno, que dice que \(\cos(-x) = \cos(x)\). Por tanto, \(15. \cos(-2\theta) = \cos(2\theta)\) \(16. \cos(-2\theta) = \frac{7}{25}\) Así que, el valor de \(\cos(-2\arcsin(\frac{3}{5}))\) es \(\frac{7}{25}\).
Calculation of Tangent Angle with Given Secant Value
La imagen muestra un problema matemático que dice lo siguiente: "Si \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \) y \( \sec(x) = -\frac{13}{5} \), ¿cuánto es el valor de \( \tan \left(\frac{\pi}{4} + x \right) \)?" Para resolver este problema, primero debemos recordar que la secante de un ángulo \( x \) es igual al inverso del coseno de \( x \): \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \). Dado que nos han proporcionado que \( \sec(x) = -\frac{13}{5} \), podemos calcular el coseno de \( x \): \[ \cos(x) = -\frac{5}{13} \] Ahora, necesitamos encontrar el seno de \( x \). Ya que sabemos que el ángulo está en el tercer cuadrante (donde seno y coseno son negativos), y que la identidad pitagórica \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) se mantiene siempre, tenemos: \[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \] \[ \sin^2(x) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 \] \[ \sin^2(x) = 1 - \frac{25}{169} \] \[ \sin^2(x) = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} \] \[ \sin^2(x) = \frac{144}{169} \] Tomando la raíz cuadrada para encontrar el seno y recordando que debe ser negativo (pues estamos en el tercer cuadrante), obtenemos: \[ \sin(x) = -\frac{12}{13} \] Ahora, vamos a calcular la tangente de \( \frac{\pi}{4} + x \) usando la fórmula de la tangente de la suma de ángulos: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan(x)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\tan(x)} \] Sabiendo que \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \) y que \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} \), tenemos: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{1 + \frac{12}{5}}{1 - 1 \cdot \frac{12}{5}} \] \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\frac{5}{5} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{12}{5}} \] \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\frac{17}{5}}{1 - \frac{12}{5}} \] \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\frac{17}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{12}{5}} \] \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{17}{5} \cdot \frac{5}{-7} \] \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{17}{-7} \] \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = -\frac{17}{7} \] Por lo tanto, el valor de \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \) es \( -\frac{17}{7} \).
Simplification of Trigonometric Expression using Angle Sum Formula
Para resolver la expresión \( \frac{\cos(a + b)}{\cos(a) \sin(b)} \), podemos utilizar la fórmula del coseno del ángulo suma, la cual es: \( \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \) Sustituimos \( \cos(a+b) \) en la expresión original: \( \frac{\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)}{\cos(a) \sin(b)} \) Ahora, separamos la fracción en dos términos: \( \frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a) \sin(b)} - \frac{\sin(a)\sin(b)}{\cos(a) \sin(b)} \) Simplificamos cada término por separado: \( \frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a) \sin(b)} = \frac{\cos(b)}{\sin(b)} \) \( \frac{\sin(a)\sin(b)}{\cos(a) \sin(b)} = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \) Por lo tanto: \( \frac{\cos(b)}{\sin(b)} - \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \) Estos resultados se pueden expresar también en términos de las funciones tangente y cotangente: \( \cot(b) - \tan(a) \) Así que la expresión original se simplifica a: \( \cot(b) - \tan(a) \) Ese es el resultado de la expresión original simplificada utilizando identidades trigonométricas.
Solving Trigonometric Expression
El problema que se muestra en la imagen pide calcular el valor de la expresión \(\sin(40°) \cos(10°) - 10^0 \cos(40°)\). Primero, debemos simplificar 10^0. Cualquier número elevado a la potencia de 0 es igual a 1. Entonces tenemos: \(\sin(40°) \cos(10°) - 1 \cdot \cos(40°)\) Ahora, sustituimos este resultado para simplificar la expresión original: \(\sin(40°) \cos(10°) - \cos(40°)\) Dado que no tengo una calculadora a mano para realizar estas operaciones, utilizaré las identidades de reducción y las relaciones trigonométricas fundamentales para simplificar la expresión. Sabemos que \(\cos(90° - \theta) = \sin(\theta)\), entonces \(\cos(10°) = \sin(80°)\). Ahora podemos reescribir la expresión usando la identidad \(\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\): \(\sin(40°) \sin(80°) - \cos(40°) = \frac{1}{2} [\sin(120°) + \sin(0°)] - \cos(40°)\) Simplificando aún más, sabemos que \(\sin(120°)\) es \(\sqrt{3}/2\) y \(\sin(0°)\) es 0, entonces: \(\frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 0\right) - \cos(40°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \cos(40°)\) Sin una calculadora y sin valores exactos conocidos para \(\cos(40°)\), no se puede simplificar la expresión a un valor numérico exacto. En conclusión, el resultado de la expresión \(\sin(40°) \cos(10°) - \cos(40°)\), sin una calculadora, se simplifica a \(\frac{\sqrt{3}}{4} - \cos(40°)\). Para obtener un valor numérico, se necesitaría calcular o buscar el valor de \(\cos(40°)\).
Trigonometric identities and expressions involving sin, cos, and tan
Para solucionar el problema necesitamos encontrar una expresión para \( \cos x \) y \( \tan \frac{x}{2} \) en términos de \( \sin x \). Dado que \( \sin x = \sqrt{\tan 37°} \), podemos usar identidades trigonométricas para relacionar los valores de \( \sin x \), \( \cos x \), y \( \tan \frac{x}{2} \). Primero, recordemos que \( \tan 37° \) es un valor conocido y corresponde al triángulo rectángulo especial de 3-4-5 (o su versión escalada, como 37°-53°-90°), por lo que \( \tan 37° = \frac{3}{4} \). Esto significa que \( \sin x = \sqrt{\frac{3}{4}} \), lo cual simplifica a \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Usamos la identidad fundamental de la trigonometría \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) para encontrar \( \cos x \). \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \( \cos^2 x = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \) \( \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4} \) \( \cos^2 x = \frac{1}{4} \) Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener \( \cos x \). Dado que \( x \) no está especificado, no sabemos si estamos en el primer cuadrante (donde \( \cos x \) sería positivo) o en el segundo (donde sería negativo). Sin embargo, dado que se nos proporciona \( \sin x \) como la raíz cuadrada de un número positivo, y sabiendo que el seno de 37° es positivo, parece razonable asumir que \( x \) está en el primer cuadrante donde todos los valores de las funciones trigonométricas son positivos. Por lo tanto, \( \cos x = \frac{1}{2} \). Para encontrar \( \tan \frac{x}{2} \), usamos la identidad de la tangente en términos de seno y coseno: \( \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} \). Sustituimos \( \cos x = \frac{1}{2} \) en la identidad: \( \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}}} \) \( \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}} \) \( \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} \) \( \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Ahora sustituimos \( \cos x = \frac{1}{2} \) y \( \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \) en la ecuación original para Q: \( Q = 2\cos x + \sqrt{3}\tan \frac{x}{2} \) \( Q = 2\left(\frac{1}{2}\right) + \sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) \( Q = 1 + 1 \) \( Q = 2 \) Por lo tanto, el valor de Q, dadas las condiciones establecidas, es 2.
Solving Trigonometric Equation with Multiple Identities
La ecuación proporcionada es: \[ \cos(2x) = -\tan(3x) \] Para resolver esta ecuación podemos utilizar las identidades trigonométricas. Primero recordamos la identidad: \[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \] Entonces, sustituimos \(-\tan(3x)\) en la ecuación original: \[ \cos(2x) = -\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} \] Ahora, utilizamos la identidad para coseno de un ángulo doble: \[ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta) \quad \text{o} \quad \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 \] Es importante recordar que hay varias formas de expresar \(\cos(2\theta)\) y debemos escoger la forma que mejor convenga a nuestra ecuación. Para esta situación, parece más apropiado usar la primera identidad ya que incluye términos en \(\sin\), que está presente en nuestro problema. Así, reemplazamos \(\cos(2x)\) en la ecuación: \[ 1 - 2\sin^2(x) = -\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} \] Pero aún tenemos que lidiar con la expresión \(\sin(3x)\), y para eso podemos usar la identidad de ángulo triple para el seno: \[ \sin(3\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta) \] Aunque usar esta identidad podría complicar más la ecuación. Otra opción es utilizar una combinación de las identidades seno y coseno de suma para expresar \(\sin(3x)\): \[ \sin(3x) = \sin(2x + x) = \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x) \] Esta expresión aún implica resolver una ecuación más complicada. Dado que estamos buscando valores específicos de \(x\), puede ser más sencillo multiplicar ambos lados de la ecuación original por \(\cos(3x)\) y aplicar la identidad para el coseno del ángulo doble que mencionamos antes, para luego tratar de simplificar y resolver la ecuación. \[ \cos(2x)\cos(3x) = -\sin(3x) \] Si aplicamos las identidades de producto para seno y coseno (fórmulas de sumas y diferencias), podríamos simplificar más la ecuación. La complejidad de esta operación requeriría un trabajo algebraico detallado y posiblemente considerar las restricciones de los dominios de las funciones trigonométricas involucradas. En este punto, sería útil graficar o utilizar herramientas matemáticas computacionales para obtener una solución aproximada o identificar los valores de \(x\) donde la igualdad se cumple. Lamentablemente, sin más contexto o restricciones de \(x\), encontrar una solución exacta y simple podría no ser directo.
Integration Using Trigonometric Substitution
Para resolver la integral que está en la imagen, podemos utilizar una sustitución trigonométrica debido a la presencia de una raíz cuadrada de una diferencia de cuadrados. La expresión bajo la raíz cuadrada, \( 1-x^2 \), sugiere usar la identidad trigonométrica \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \), por lo que podemos hacer la sustitución \( x = \sin(\theta) \), \( dx = \cos(\theta) d\theta \). Entonces, la expresión bajo la raíz cuadrada se convierte en \( \cos^2(\theta) \), cuya raíz cuadrada es simplemente \( \cos(\theta) \). La integral original se transforma así: \[ \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx \] Sustituimos \( x = \sin(\theta) \) y \( dx = \cos(\theta) d\theta \): \[ \int \frac{\sin^2(\theta)}{\cos(\theta)} \cos(\theta) d\theta = \int \sin^2(\theta) d\theta \] Ahora podemos utilizar la identidad trigonométrica para \( \sin^2(\theta) \): \[ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \] Entonces la integral se convierte en: \[ \int \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2\theta)) d\theta \] La cual se puede integrar término por término: \[ \frac{1}{2} \left( \int 1 d\theta - \int \cos(2\theta) d\theta \right) = \frac{1}{2} (\theta - \frac{\sin(2\theta)}{2}) + C \] Donde \( C \) es la constante de integración. Finalmente, debemos volver a expresar \( \theta \) en términos de \( x \) utilizando la sustitución original \( x = \sin(\theta) \). Para \( \theta \), usamos \( \theta = \arcsin(x) \) y para \( \sin(2\theta) \), usamos la identidad \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2x\sqrt{1 - x^2} \). Por lo tanto, la integral original se convierte en: \[ \frac{1}{2} \left( \arcsin(x) - \frac{1}{2} \cdot 2x\sqrt{1 - x^2} \right) + C \] O simplificando: \[ \frac{\arcsin(x)}{2} - \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{2} + C \] Esta es la expresión de la integral indefinida que ha pedido calcular.
Solving a Trigonometric Function Using Identities
The expression given in the image is a mathematical function involving trigonometric identities: \[ \frac{\tan 315^\circ - \cos 1020^\circ}{\sin 150^\circ - \tan (-135^\circ)} \] Let's solve it step by step using trigonometric identities and properties. Firstly, we can simplify each trigonometric function by using standard angles and periodic properties. The tangent and sine functions have a period of 360°, meaning \(\tan(\theta) = \tan(\theta + k \cdot 360^\circ)\) and \(\sin(\theta) = \sin(\theta + k \cdot 360^\circ)\) where \(k\) is any integer. The cosine function also has the same period. So: - \(\tan 315^\circ\) is equivalent to \(\tan (360^\circ - 45^\circ)\), which equals \(\tan (-45^\circ)\). Since \(\tan\) is an odd function, \(\tan (-\theta) = -\tan (\theta)\), so \(\tan 315^\circ = -\tan 45^\circ = -1\). - \(\cos 1020^\circ\) is equivalent to \(\cos (3 \cdot 360^\circ - 60^\circ)\), which equals \(\cos (-60^\circ)\). Since \(\cos\) is an even function, \(\cos (-\theta) = \cos (\theta)\), so \(\cos 1020^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). - \(\sin 150^\circ\) is equivalent to \(\sin (180^\circ - 30^\circ)\), which equals \(\sin 30^\circ\). Thus, \(\sin 150^\circ = \frac{1}{2}\). - \(\tan (-135^\circ)\) is equivalent to \(-\tan (135^\circ)\), which is \(-\tan (180^\circ - 45^\circ)\) and equals \(-(-1)\) because \(\tan (180^\circ - \theta) = -\tan (\theta)\). So, \(\tan (-135^\circ) = 1\). Now we can plug these values into the original expression: \[ \frac{-1 - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} \] Upon simplifying the fraction: \[ \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = \frac{-3}{2} \div \frac{-1}{2} = \frac{-3}{2} \cdot \frac{-2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \] Hence, the simplified value of the given expression is 3.
Trigonometric Identities and Functions
To solve the problem, we'll start with the given information: \[ \sec(\theta) = 4 \] \[ \cot(\theta) > 0 \] We want to find the exact values of \(\tan(\theta)\) and \(\sin(\theta)\). First, recall the trigonometric identities involving \(\sec(\theta)\) and \(\tan(\theta)\): \[ \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} \] \[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \] From \(\sec(\theta) = 4\), we know that \(\cos(\theta) = \frac{1}{4}\). Since we are given that \(\cot(\theta) > 0\), which means \(\cos(\theta)\) and \(\sin(\theta)\) must have the same sign, and because \(\cos(\theta) = \frac{1}{4}\) is positive, \(\sin(\theta)\) must also be positive. Now we need to find \(\sin(\theta)\) knowing \(\cos(\theta)\). Using the Pythagorean identity: \[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \] Substituting \(\cos(\theta) = \frac{1}{4}\) into this equation: \[ \sin^2(\theta) + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2(\theta) + \frac{1}{16} = 1 \] \[ \sin^2(\theta) = 1 - \frac{1}{16} \] \[ \sin^2(\theta) = \frac{15}{16} \] Since \(\sin(\theta)\) is positive (as discussed earlier): \[ \sin(\theta) = \sqrt{\frac{15}{16}} \] \[ \sin(\theta) = \frac{\sqrt{15}}{4} \] Now we can find \(\tan(\theta)\) using \(\sin(\theta)\) and \(\cos(\theta)\): \[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \] \[ \tan(\theta) = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} \] \[ \tan(\theta) = \sqrt{15} \] So the exact values are: \[ \tan(\theta) = \sqrt{15} \] \[ \sin(\theta) = \frac{\sqrt{15}}{4} \]
Simplifying Trigonometric Expression
To solve the expression, we need to simplify it by using trigonometric identities where possible. The expression is: \[ \frac{\csc(x)}{1 - \cos^2(x)} - \csc^3(x) \] We can recognize that \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\), and using the Pythagorean identity \(1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)\), we can rewrite the first term: \[ \frac{\csc(x)}{1 - \cos^2(x)} = \frac{\frac{1}{\sin(x)}}{\sin^2(x)} = \frac{1}{\sin^3(x)} \] Now we rewrite \(\csc^3(x)\) as: \[ \csc^3(x) = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)^3 = \frac{1}{\sin^3(x)} \] With these substitutions, the expression simplifies to: \[ \frac{1}{\sin^3(x)} - \frac{1}{\sin^3(x)} \] Now it is clear that both terms are the same and they cancel each other out. Thus, the simplified expression equals zero. \[ \frac{\csc(x)}{1 - \cos^2(x)} - \csc^3(x) = 0 \]
Solving Trigonometric Equation with Quadratic Formula
The equation given is trigonometric, and it can be rewritten and solved by exploiting the trigonometric identities. The equation is: sec^2(x) - 2tan(x) - 2 = 0 Now, considering the trigonometric identity sec^2(x) = tan^2(x) + 1, let's rewrite the equation using this identity: tan^2(x) + 1 - 2tan(x) - 2 = 0 Simplify it: tan^2(x) - 2tan(x) - 1 = 0 This is a quadratic equation in tan(x). To solve for tan(x), we use the quadratic formula: if ax^2 + bx + c = 0, then x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). Here, a = 1, b = -2, and c = -1. Using the quadratic formula: tan(x) = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4*1*(-1)))/(2*1) tan(x) = (2 ± √(4 + 4))/2 tan(x) = (2 ± √8)/2 tan(x) = (2 ± 2√2)/2 tan(x) = 1 ± √2 This gives us two possible values for tan(x): tan(x) = 1 + √2 or tan(x) = 1 - √2 To find x, we look for the angle whose tangent is these values. The exact values of the angles depend on the interval for x that we are solving over, which has not been provided. In general, you would use a calculator or inverse tangent function to find these angles within a given interval. Keep in mind the periodic nature of the tangent function and the fact that it is positive in the first and third quadrants and negative in the second and fourth quadrants if you are working with standard intervals like [0, 2π) or [-π, π).
Trigonometric Expression Simplification
Certainly! The expression given in the image is: \( \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} + \theta) + \cot(-\theta)}{1 - \sin(2\pi - \theta)} \) Let's simplify the numerator and denominator of this fraction step by step using trigonometric identities: 1. \(\sin(\frac{3\pi}{2} + \theta)\) can be simplified using the identity that \(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\): Since \(\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1\) and \(\cos(\theta) = \cos(\theta)\), we get: \(\sin(\frac{3\pi}{2} + \theta) = \sin(\frac{3\pi}{2})\cos(\theta) + \cos(\frac{3\pi}{2})\sin(\theta) = -1 \cdot \cos(\theta) + 0 \cdot \sin(\theta) = -\cos(\theta)\) 2. \(\cot(-\theta) = \frac{\cos(-\theta)}{\sin(-\theta)}\) can be further simplified using the facts that \(\cos\) is an even function and \(\sin\) is an odd function, which results in \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\) and \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\): \(\cot(-\theta) = \frac{\cos(\theta)}{-\sin(\theta)} = -\cot(\theta)\) Putting these together, the numerator becomes: \(-\cos(\theta) - \cot(\theta)\) For the denominator: 1. \(\sin(2\pi - \theta)\) can be simplified using the identity for \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\), as \(2\pi - \theta\) is the same as \(\pi - (\pi - \theta)\): \(\sin(2\pi - \theta) = \sin(\pi - (\pi - \theta)) = \sin(\pi - \theta)\) Since \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\), we get: \(\sin(2\pi - \theta) = \sin(\theta)\) So the original expression simplifies to: \( \frac{-\cos(\theta) - \cot(\theta)}{1 - \sin(\theta)} \) Now let's simplify further: Since \(\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\), we can rewrite the numerator in terms of sines and cosines, getting: \( \frac{-\cos(\theta) - \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}}{1 - \sin(\theta)} \) To combine the terms in the numerator, we get a common denominator of \(\sin(\theta)\): \( \frac{-\cos(\theta)\sin(\theta) - \cos(\theta)}{\sin(\theta)(1 - \sin(\theta))} \) Now, we factor out \(-\cos(\theta)\) from the numerator: \( \frac{-\cos(\theta)(\sin(\theta) + 1)}{\sin(\theta)(1 - \sin(\theta))} \) Observing that \(\sin(\theta) + 1\) is the additive inverse of \(1 - \sin(\theta)\), we can cancel the corresponding terms in the numerator and denominator, yielding: \( \frac{-\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \) Finally, this expression can be simplified to \( -\cot(\theta) \) So the simplified form of the original expression is \( -\cot(\theta) \).
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