Question - Calculation of Tangent Angle with Given Secant Value
Solution:
La imagen muestra un problema matemático que dice lo siguiente:"Si $$ \pi < x < \frac{3\pi}{2} $$ y $$ \sec(x) = -\frac{13}{5} $$, ¿cuánto es el valor de $$ \tan \left(\frac{\pi}{4} + x \right) $$?"Para resolver este problema, primero debemos recordar que la secante de un ángulo $$ x $$ es igual al inverso del coseno de $$ x $$: $$ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} $$. Dado que nos han proporcionado que $$ \sec(x) = -\frac{13}{5} $$, podemos calcular el coseno de $$ x $$:\[ \cos(x) = -\frac{5}{13} \]Ahora, necesitamos encontrar el seno de $$ x $$. Ya que sabemos que el ángulo está en el tercer cuadrante (donde seno y coseno son negativos), y que la identidad pitagórica $$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $$ se mantiene siempre, tenemos:\[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \]\[ \sin^2(x) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 \]\[ \sin^2(x) = 1 - \frac{25}{169} \]\[ \sin^2(x) = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} \]\[ \sin^2(x) = \frac{144}{169} \]Tomando la raíz cuadrada para encontrar el seno y recordando que debe ser negativo (pues estamos en el tercer cuadrante), obtenemos:\[ \sin(x) = -\frac{12}{13} \]Ahora, vamos a calcular la tangente de $$ \frac{\pi}{4} + x $$ usando la fórmula de la tangente de la suma de ángulos:\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan(x)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\tan(x)} \]Sabiendo que $$ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$ y que $$ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} $$, tenemos:\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{1 + \frac{12}{5}}{1 - 1 \cdot \frac{12}{5}} \]\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\frac{5}{5} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{12}{5}} \]\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\frac{17}{5}}{1 - \frac{12}{5}} \]\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\frac{17}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{12}{5}} \]\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{17}{5} \cdot \frac{5}{-7} \]\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{17}{-7} \]\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = -\frac{17}{7} \]Por lo tanto, el valor de $$ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) $$ es $$ -\frac{17}{7} $$.
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