Question - Finding the Value of Cosine of Double Arcsine
mathtrigonometric identitiesinverse trigonometric functionsdouble angle formulacosine of double arcsine
Solution:
Claro, vamos a encontrar el valor del coseno de menos dos veces el arco seno de tres quintos. Para esto, utilizaremos algunas identidades trigonométricas.Supongamos $$\theta = \arcsin(\frac{3}{5})$$. Entonces, por definición, $$\sin(\theta) = \frac{3}{5}$$. Debido a que utilizaremos el coseno de $$-2\theta$$, trabajaremos primero encontrando el coseno de $$\theta$$ con la ayuda de la identidad fundamental de la trigonometría $$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$.$$1. \sin(\theta) = \frac{3}{5}$$$$2. \sin^2(\theta) = (\frac{3}{5})^2$$$$3. \sin^2(\theta) = \frac{9}{25}$$Aplicamos la identidad fundamental de la trigonometría:$$4. \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$$$5. \frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1$$$$6. \cos^2(\theta) = \frac{16}{25}$$$$7. \cos(\theta) = \pm\frac{4}{5}$$Como el arco seno de un valor está entre $$-\frac{\pi}{2}$$ y $$\frac{\pi}{2}$$, el coseno es positivo. Por lo tanto,$$8. \cos(\theta) = \frac{4}{5}$$Ahora, encontramos el coseno del doble ángulo utilizando la identidad para el coseno de un doble ángulo:$$9. \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$$Sustituimos $$\cos(\theta)$$ con el valor que calculamos:$$10. \cos(2\theta) = 2(\frac{4}{5})^2 - 1$$$$11. \cos(2\theta) = 2(\frac{16}{25}) - 1$$$$12. \cos(2\theta) = \frac{32}{25} - 1$$$$13. \cos(2\theta) = \frac{32}{25} - \frac{25}{25}$$$$14. \cos(2\theta) = \frac{7}{25}$$Finalmente, como queremos el valor del coseno de menos dos veces $$\theta$$, usamos la propiedad de paridad del coseno, que dice que $$\cos(-x) = \cos(x)$$. Por tanto,$$15. \cos(-2\theta) = \cos(2\theta)$$$$16. \cos(-2\theta) = \frac{7}{25}$$Así que, el valor de $$\cos(-2\arcsin(\frac{3}{5}))$$ es $$\frac{7}{25}$$.
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