Question - Integration Using Trigonometric Substitution
Solution:
Para resolver la integral que está en la imagen, podemos utilizar una sustitución trigonométrica debido a la presencia de una raíz cuadrada de una diferencia de cuadrados. La expresión bajo la raíz cuadrada, $$ 1-x^2 $$, sugiere usar la identidad trigonométrica $$ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $$, por lo que podemos hacer la sustitución $$ x = \sin(\theta) $$, $$ dx = \cos(\theta) d\theta $$. Entonces, la expresión bajo la raíz cuadrada se convierte en $$ \cos^2(\theta) $$, cuya raíz cuadrada es simplemente $$ \cos(\theta) $$.La integral original se transforma así:$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx$$Sustituimos $$ x = \sin(\theta) $$ y $$ dx = \cos(\theta) d\theta $$:$$\int \frac{\sin^2(\theta)}{\cos(\theta)} \cos(\theta) d\theta = \int \sin^2(\theta) d\theta$$Ahora podemos utilizar la identidad trigonométrica para $$ \sin^2(\theta) $$:$$\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$Entonces la integral se convierte en:$$\int \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2\theta)) d\theta$$La cual se puede integrar término por término:$$\frac{1}{2} \left( \int 1 d\theta - \int \cos(2\theta) d\theta \right) = \frac{1}{2} (\theta - \frac{\sin(2\theta)}{2}) + C$$Donde $$ C $$ es la constante de integración.Finalmente, debemos volver a expresar $$ \theta $$ en términos de $$ x $$ utilizando la sustitución original $$ x = \sin(\theta) $$. Para $$ \theta $$, usamos $$ \theta = \arcsin(x) $$ y para $$ \sin(2\theta) $$, usamos la identidad $$ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2x\sqrt{1 - x^2} $$.Por lo tanto, la integral original se convierte en:$$\frac{1}{2} \left( \arcsin(x) - \frac{1}{2} \cdot 2x\sqrt{1 - x^2} \right) + C$$O simplificando:$$\frac{\arcsin(x)}{2} - \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{2} + C$$Esta es la expresión de la integral indefinida que ha pedido calcular.
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