Question - Trigonometric identities and expressions involving sin, cos, and tan
mathtrigonometric identitiesexpressions involving sin cos tanrelationship between sin cos tanspecial triangle values
Solution:
Para solucionar el problema necesitamos encontrar una expresión para $$ \cos x $$ y $$ \tan \frac{x}{2} $$ en términos de $$ \sin x $$. Dado que $$ \sin x = \sqrt{\tan 37°} $$, podemos usar identidades trigonométricas para relacionar los valores de $$ \sin x $$, $$ \cos x $$, y $$ \tan \frac{x}{2} $$.Primero, recordemos que $$ \tan 37° $$ es un valor conocido y corresponde al triángulo rectángulo especial de 3-4-5 (o su versión escalada, como 37°-53°-90°), por lo que $$ \tan 37° = \frac{3}{4} $$. Esto significa que $$ \sin x = \sqrt{\frac{3}{4}} $$, lo cual simplifica a $$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$.Usamos la identidad fundamental de la trigonometría $$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$ para encontrar $$ \cos x $$.$$ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $$$$ \cos^2 x = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 $$$$ \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4} $$$$ \cos^2 x = \frac{1}{4} $$Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener $$ \cos x $$. Dado que $$ x $$ no está especificado, no sabemos si estamos en el primer cuadrante (donde $$ \cos x $$ sería positivo) o en el segundo (donde sería negativo). Sin embargo, dado que se nos proporciona $$ \sin x $$ como la raíz cuadrada de un número positivo, y sabiendo que el seno de 37° es positivo, parece razonable asumir que $$ x $$ está en el primer cuadrante donde todos los valores de las funciones trigonométricas son positivos. Por lo tanto, $$ \cos x = \frac{1}{2} $$.Para encontrar $$ \tan \frac{x}{2} $$, usamos la identidad de la tangente en términos de seno y coseno:$$ \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} $$. Sustituimos $$ \cos x = \frac{1}{2} $$ en la identidad:$$ \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}}} $$$$ \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}} $$$$ \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} $$$$ \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$Ahora sustituimos $$ \cos x = \frac{1}{2} $$ y $$ \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ en la ecuación original para Q:$$ Q = 2\cos x + \sqrt{3}\tan \frac{x}{2} $$$$ Q = 2\left(\frac{1}{2}\right) + \sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $$$$ Q = 1 + 1 $$$$ Q = 2 $$Por lo tanto, el valor de Q, dadas las condiciones establecidas, es 2.
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