Example Question - square roots
Here are examples of questions we've helped users solve.
Simplifying Square Roots
<p>Para simplificar la expresión, empezamos con la fracción: \(\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}\).</p> <p>Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: \(\frac{\sqrt{5}(1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})}\).</p> <p>Esto da como resultado: \(\frac{\sqrt{5} - 5}{1 - 5} = \frac{\sqrt{5} - 5}{-4} = -\frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{5}{4}\).</p> <p>La simplificación final da como resultado: \(\sqrt{5}\).</p>
Simplifying Nested Square Roots
<p>To simplify the expression:</p> <p>We begin with the expression:</p> <p>\(\sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 25}\)</p> <p>Which simplifies to:</p> <p>\(\sqrt{5} + 5 = 6\)</p> <p>For the next part:</p> <p>\(\sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 25} = \sqrt{5} + 5\)</p> <p>This gives us \(6\) as a total.</p> <p>Thus the answer is:</p> <p>c) 1</p>
Simplifying Square Root Expressions and Rationalizing the Denominator
<p>Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách đơn giản hóa từng biểu thức A và B.</p> <p>Đối với biểu thức A:</p> <p>\[A = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{5}\]</p> <p>\[A = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2} - \sqrt{5}\]</p> <p>\[A = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} - \sqrt{5}\]</p> <p>\[A = \sqrt{5} - 2 - \sqrt{5}\]</p> <p>\[A = -2\]</p> <p>Đối với biểu thức B:</p> <p>\[B = \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}\]</p> <p>\[B = \frac{x}{\sqrt{x}} - 1 + \frac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1}\]</p> <p>\[B = \sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1\]</p> <p>\[B = 2\sqrt{x}\]</p> <p>Khi đó, ta có hệ phương trình:</p> <p>\[\begin{cases} A = -2 \\ B = 2\sqrt{x} \end{cases}\]</p> <p>Từ phương trình B, ta có:</p> <p>\[2\sqrt{x} = -2\]</p> <p>\[\sqrt{x} = -1\]</p> <p>Phương trình này không có nghiệm thực vì căn bậc hai của một số thực không thể là số âm.</p> <p>Do đó, không có giá trị nào của x thỏa mãn cả hai biểu thức A và B đồng thời bằng 0.</p>
Solving for a Variable with Square Roots
<p>\(\sqrt{a} = -\sqrt{a}\)</p> <p>1) Поднимите обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:</p> <p>\((\sqrt{a})^2 = (-\sqrt{a})^2\)</p> <p>2) Применяя свойства степеней, уберите квадратные корни:</p> <p>\(a = a \cdot (-1)^2\)</p> <p>3) Упростите правую сторону уравнения:</p> <p>\(a = a\)</p> <p>Полученное уравнение верно для всех \(a\), кроме тех случаев, когда \(a\) меньше 0, так как квадратный корень не может быть отрицательным числом. Однако, так как обе части уравнения одинаковы, это уравнение не имеет решения, потому что изначально невозможно, чтобы \(\sqrt{a}\) был равен \(-\sqrt{a}\), если \(a \geq 0\).</p>
Compare Decimal and Fractional Numbers
Для решения этой задачи каждое число необходимо привести к удобному виду для сравнения, например, к десятичной дроби. Ниже представлены шаги преобразования и сравнения чисел в каждом пункте: а) Сравним \(\sqrt{6.25}\) и 2.5: <p>\[\sqrt{6.25} = \sqrt{25/4}\]</p> <p>\[\sqrt{25/4} = 5 / 2\]</p> <p>\[5/2 = 2.5\]</p> <p>Таким образом, оба числа равны.</p> б) Сравним \(\sqrt{27}\) и \(\sqrt{28}\): <p>\[\sqrt{27} \approx 5.196\]</p> <p>\[\sqrt{28} \approx 5.292\]</p> <p>\[\sqrt{27} < \sqrt{28}\]</p> в) Сравним 1.3 и 1.5: <p>\[1.3 < 1.5\]</p> г) Сравним \(\frac{5}{\sqrt{5}}\) и \(\frac{6}{\sqrt{6}}\), преобразуя к десятичным дробям: <p>\[\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}\]</p> <p>\[\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{6 \sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}\]</p> <p>\[\sqrt{5} \approx 2.236\]</p> <p>\[\sqrt{6} \approx 2.449\]</p> <p>\[\sqrt{5} < \sqrt{6}\]</p> д) Сравним 0.8 и 1: <p>\[0.8 < 1\]</p> е) Сравним \(\sqrt{0.18}\) и 0.4: <p>\[\sqrt{0.18} = \sqrt{\frac{18}{100}}\]</p> <p>\[\sqrt{\frac{18}{100}} = \frac{\sqrt{18}}{10}\]</p> <p>\[\sqrt{18} \approx 4.243\]</p> <p>\[\frac{\sqrt{18}}{10} \approx 0.4243\]</p> <p>\[0.4243 > 0.4\]</p> ж) Сравним \(\frac{4}{\sqrt{5}}\) и \(\frac{5}{\sqrt{6}}\), аналогично предыдущему пункту: <p>\[\frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}\]</p> <p>\[\frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{5 \sqrt{6}}{6}\]</p> <p>\[4 \sqrt{5} \approx 8.944\]</p> <p>\[5 \sqrt{6} \approx 12.247\]</p> <p>\[\frac{8.944}{5} \approx 1.789\]</p> <p>\[\frac{12.247}{6} \approx 2.041\]</p> <p>\[1.789 < 2.041\]</p> з) Сравним \(\sqrt{3.5}\) и \(\frac{3.2}{\sqrt{3}}\): <p>\[\sqrt{3.5} = \sqrt{\frac{7}{2}}\]</p> <p>\[\sqrt{\frac{7}{2}} \approx 1.871\]</p> <p>\[\frac{3.2}{\sqrt{3}} = \frac{3.2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3.2 \sqrt{3}}{3}\]</p> <p>\[3.2 \sqrt{3} \approx 5.545\]</p> <p>\[\frac{5.545}{3} \approx 1.848\]</p> <p>\[\sqrt{3.5} > \frac{3.2}{\sqrt{3}}\]</p>
Simplification of Radical Expressions
<p>Para simplificar la expresión que contiene raíces cuadradas, primero identificamos los factores cuadrados perfectos dentro de las raíces cuadradas:</p> <p>\( 3\sqrt{27} \cdot 3\sqrt{64} \)</p> <p>Factorizamos dentro de las raíces para encontrar cuadrados perfectos:</p> <p>\( 3\sqrt{9 \cdot 3} \cdot 3\sqrt{64} \)</p> <p>\( 3\sqrt{9} \cdot \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{64} \)</p> <p>Sacamos los cuadrados perfectos fuera de la raíz:</p> <p>\( 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 3 \cdot 8 \)</p> <p>\( 9\sqrt{3} \cdot 24 \)</p> <p>Multiplicamos los coeficientes fuera de las raíces:</p> <p>\( 216\sqrt{3} \)</p> <p>La expresión simplificada es \( 216\sqrt{3} \).</p>
Evaluating an Algebraic Expression Involving Square Roots
Given the equation \(2\sqrt{2} + \sqrt{125} - \sqrt{45} + 4 = a + b\sqrt{c}\), First, simplify the square roots that are not in simplest form: <p>\(\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}\),</p> <p>\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\).</p> Now, substitute these simplified forms back into the equation: <p>\(2\sqrt{2} + 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 4 = a + b\sqrt{c}\).</p> Combine like terms: <p>\(2\sqrt{2} + (5\sqrt{5} - 3\sqrt{5}) + 4 = a + b\sqrt{c}\),</p> <p>\(2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 4 = a + b\sqrt{c}\).</p> Now, match the terms on both sides of the equation: <p>\(a = 4\),</p> <p>\(b = 2\), \(c = 2\),</p> <p>\(b = 2\), \(c = 5\).</p> Since the square root terms must match (they are like terms), we can see that there are two terms with a square root on the left side, \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\). These two terms must match the single square root term on right side, \(b\sqrt{c}\). This is only consistent if \(c\) is a product of the radicands \(2\) and \(5\). So this suggests that \(b\) should be the sum of the coefficients of the square root terms on the left, while \(c\) should be the product of the radicands: <p>\(b=2+2=4\),</p> <p>\(c=2 \cdot 5 = 10\).</p> Hence, the equation can be written as: <p>\(4 + 4\sqrt{10} = a + b\sqrt{c}\).</p> Now that \(a\), \(b\), and \(c\) have been found, evaluate \(2a - b\): <p>\(2a - b = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4\).</p> The value of \(2a - b\) is \(4\).
Mathematical Operations with Square and Cubic Roots
La imagen muestra una serie de operaciones matemáticas (raíces cuadradas y cubicas) en las que se debe sustituir la letra \(A\) por un número. En el primer inciso, \(a\), se ha resuelto correctamente que cuando \(A = 25\), \(\sqrt[3]{A} = 5\) ya que la raíz cúbica de 25 es aproximadamente 2.924, pero el cálculo mostrado dice que es igual a 5, lo cual es incorrecto. La raíz cúbica de 25 no es un número entero, por lo tanto, eso parece ser un error en los cálculos mostrados. Los otros incisos no se ven completamente en la imagen, pero podemos inferir que se espera que se resuelva una operación similar con diferentes valores de \(A\). Es importante recordar que la raíz cuadrada de un número, representada como \(\sqrt{A}\), es el número que, multiplicado por sí mismo, da como resultado \(A\). Por su parte, la raíz cúbica de un número, representada como \(\sqrt[3]{A}\), es el número que, multiplicado por sí mismo tres veces, da como resultado \(A\). Para resolver correctamente las operaciones, necesitaríamos ver todos los incisos completamente y también asegurarnos de tener el valor correcto de \(A\) para sustituirlo en las operaciones dadas.
Solving Inequality with Square Roots
The image shows an inequality with two blank boxes and the square root of 136 in the center. To solve this, we need to find two square numbers that the square root of 136 falls between. Let's identify the nearest perfect squares around 136. Since \( 11^2 = 121 \) and \( 12^2 = 144 \), we can see that 136 falls between these two squares. So, the square root of 136 is more than 11 but less than 12: \( 11 < \sqrt{136} < 12 \) Hence, the numbers that should be in the blank boxes are 11 and 12, read from left to right: \[ 11 < \sqrt{136} < 12 \]
Understanding Number Range Around Square Roots
The question in the image seems to be asking to fill in the blanks with numbers that are less than and greater than the square root of 34, respectively. Let's find two perfect squares that are close to 34 to help us find the square root range of 34: Taking perfect squares near 34: - \(5^2 = 25\) - \(6^2 = 36\) Since 25 is less than 34, and 36 is greater than 34, the square root of 34 will be between 5 and 6. Therefore, a number less than square root of 34 would be 5 (or any number between 5 and \(\sqrt{34}\) that's not an integer), and a number greater than square root of 34 would be 6 (or any number between \(\sqrt{34}\) and 6 that's not an integer). So, the blanks should be filled with: 5 < \(\sqrt{34}\) < 6
Determining Perfect Squares for Square Root Range
The question in the image asks to find two perfect squares between which the square root of 34 falls. Since \(\sqrt{34}\) is not a whole number, we know it lies between two consecutive integer square roots. To determine these, we find the perfect squares nearest to 34 on either side. The perfect square less than 34 is \(5^2 = 25\), and the perfect square greater than 34 is \(6^2 = 36\). Hence, \(\sqrt{25}\) is 5, and \(\sqrt{36}\) is 6. So the square root of 34 falls between the square roots of 25 and 36. Therefore, the inequalities are: \[ 5 < \sqrt{34} < 6 \] In the provided boxes, the numbers 5 and 6 would fit appropriately to show the inequality. \[ 5 < \sqrt{34} < 6 \]
Solving Quadratic Equation with Square Roots
The question provided in the image is "Bài 5: Tình giá trị của biểu thức". Let's solve the equation labeled as (a), which is: 3x - 7 \sqrt{x} = 2 To solve this equation, you can follow these steps: Đặt t = \sqrt{x}, ta có t^2 = x. Phương trình trở thành 3t^2 - 7t = 2 Đưa phương trình về dạng chuẩn: 3t^2 - 7t - 2 = 0 Giờ ta sẽ sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai. Áp dụng công thức nghiệm: t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} trong đó a = 3, b = -7, và c = -2. Tính delta (Δ): Δ = b^2 - 4ac Δ = (-7)^2 - 4*(3)*(-2) Δ = 49 + 24 Δ = 73 Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{73}}{2*3} = \frac{7 + \sqrt{73}}{6} t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{73}}{2*3} = \frac{7 - \sqrt{73}}{6} Nhưng vì t = \sqrt{x}, t phải là số không âm. Vậy nên, ta chỉ chấp nhận nghiệm: t = \frac{7 + \sqrt{73}}{6} Cuối cùng, giá trị của x sẽ là: x = t^2 = \left(\frac{7 + \sqrt{73}}{6}\right)^2 Tính giá trị của x, và đó sẽ là kết quả của phương trình.
Solving a Complex Inequality Involving Square Roots
Chúng ta cần giải bất phương trình sau: \[ \frac{10\sqrt{x}}{x + 3\sqrt{x} - 4} > \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 4} + \frac{\sqrt{x} + 1}{1 - \sqrt{x}} \] Giả sử rằng \( x \geq 0; x \neq 1 \) như điều kiện của bài toán. Ta tiến hành giải bất phương trình: Đầu tiên, chúng ta phải quy đồng mẫu thức của cả hai vế. Nhưng trước tiên, chú ý rằng mẫu thức \( x + 3\sqrt{x} - 4 \) có thể phân tích như sau: \[ x + 3\sqrt{x} - 4 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4) \] Bây giờ chúng ta hãy quy đồng mẫu thức và thực hiện tính toán: \[ \frac{10\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)} - \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 4} - \frac{\sqrt{x} + 1}{1 - \sqrt{x}} \] Chú ý rằng ở phần thứ hai và thứ ba của bất phương trình, mẫu số có thể tính chung là \((\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})\). Vậy chúng ta có: \[ \frac{10\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})} - \frac{(2\sqrt{x} - 3)(1 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})} - \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})} \] Bây giờ chúng ta có thể loại bỏ những yếu tố chung ở mẫu số và đồng nhất mẫu số của tất cả các phân thức. Mẫu chung cuối cùng sẽ là (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x}), mà thực chất chỉ là \((\sqrt{x} - 1)^2(\sqrt{x} + 4)\) sau khi loại bỏ được yếu tố chung \( (1 - \sqrt{x}) \) ở mẫu thức đầu tiên và cuối cùng. Sau khi loại bỏ mẫu số chung này, bất phương trình trở thành phương trình với tử số và ta sẽ cần phải giải những biểu thức còn lại ở tử số. Bạn cần lưu ý kiểm tra điều kiện xác định của bất phương trình khi giải các biểu thức ở tử số để đảm bảo không có giá trị nào làm cho mẫu số bằng không. Ví dụ, \(\sqrt{x} - 1 = 0\) hay \(\sqrt{x} + 4 = 0\) không thể xảy ra vì \(\sqrt{x} \neq 1\) và \(\sqrt{x}\) không thể âm. Hãy thực hiện tiếp việc giải bất phương trình bằng cách mở rộng và thu gọn các biểu thức. Bạn có thể tiếp tục làm điều này bằng cách sử dụng đại số để tìm ra tập hợp nghiệm của \( x \).
Solving a System of Equations Involving Square Roots
Dựa trên hình ảnh bạn cung cấp, ta có hai phương trình và cần giải hệ phương trình để tìm hai số x và y. Phần a của bài toán được viết như sau: a) \[\begin{cases} 3x - 5y = \sqrt{y} \\ x + y = 40 \end{cases}\] Để giải hệ phương trình điều kiện chứa căn, ta cần biến đổi để đưa về dạng phương trình không chứa căn để giải. Tuy nhiên, để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Cụ thể ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Từ phương trình thứ hai \(x + y = 40\), ta có thể biểu diễn x hoặc y theo biến còn lại. Giả sử chọn biểu diễn x qua y, ta có: \[x = 40 - y\] Bước 2: Thay x từ phương trình \(x = 40 - y\) vào phương trình thứ nhất để có một phương trình đơn biến theo y: \[3(40 - y) - 5y = \sqrt{y}\] \[120 - 3y - 5y = \sqrt{y}\] \[120 - 8y = \sqrt{y}\] Bước 3: Để giải phương trình này, ta đưa về dạng bình phương hai vế để giải quyết căn thức: \[(120 - 8y)^2 = y\] \[14400 - 1920y + 64y^2 = y\] \[64y^2 - 1921y + 14400 = 0\] Bước 4: Ta cần giải phương trình bậc hai này để tìm ra giá trị của y. Đối với phương trình bậc hai, nếu ta tìm được nghiệm thông qua phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm tổng quát, ta có thể tìm được giá trị y thỏa mãn. Bước 5: Sau khi tìm được y, ta sẽ thay giá trị y vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm x. Do phương trình này khá phức tạp để giải một cách thủ công, bước tiếp theo ta có thể cần sử dụng máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học để tìm nghiệm chính xác. Ta cần kiểm tra nghiệm để đảm bảo nó thỏa mãn điều kiện căn bậc hai phải không âm. Ở đây, ta cần \(y \geq 0\) vì trong phương trình có \(\sqrt{y}\). Lưu ý: Khi ta bình phương hai vế của một phương trình, ta có thể giới thiệu nghiệm giả, nên cần phải thay lại các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra.
Rationalizing Denominators of Square Roots
To solve the given expression, we can use the technique of rationalizing the denominator. The expression given is: \[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \] We will multiply both the numerator and denominator by the conjugate of the denominator to eliminate the square roots in the denominator. The conjugate of \(\sqrt{2} - \sqrt{3}\) is \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\). Here's how it is done: \[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \] Expanding the numerator and simplifying the denominator: \[ \frac{2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 3}{2 - 3} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{-1} \] Simplifying further: \[ \frac{5 + 2\sqrt{6}}{-1} = -5 - 2\sqrt{6} \] The final simplified result is: \[ -5 - 2\sqrt{6} \]
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com