Question - Solving a Complex Inequality Involving Square Roots
Solution:
Chúng ta cần giải bất phương trình sau:$$\frac{10\sqrt{x}}{x + 3\sqrt{x} - 4} > \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 4} + \frac{\sqrt{x} + 1}{1 - \sqrt{x}}$$Giả sử rằng $$ x \geq 0; x \neq 1 $$ như điều kiện của bài toán. Ta tiến hành giải bất phương trình:Đầu tiên, chúng ta phải quy đồng mẫu thức của cả hai vế. Nhưng trước tiên, chú ý rằng mẫu thức $$ x + 3\sqrt{x} - 4 $$ có thể phân tích như sau:$$x + 3\sqrt{x} - 4 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)$$Bây giờ chúng ta hãy quy đồng mẫu thức và thực hiện tính toán:$$\frac{10\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)} - \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 4} - \frac{\sqrt{x} + 1}{1 - \sqrt{x}}$$Chú ý rằng ở phần thứ hai và thứ ba của bất phương trình, mẫu số có thể tính chung là $$(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})$$. Vậy chúng ta có:$$\frac{10\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})} - \frac{(2\sqrt{x} - 3)(1 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})} - \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x})}$$Bây giờ chúng ta có thể loại bỏ những yếu tố chung ở mẫu số và đồng nhất mẫu số của tất cả các phân thức. Mẫu chung cuối cùng sẽ là (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 4)(1 - \sqrt{x}), mà thực chất chỉ là $$(\sqrt{x} - 1)^2(\sqrt{x} + 4)$$ sau khi loại bỏ được yếu tố chung $$ (1 - \sqrt{x}) $$ ở mẫu thức đầu tiên và cuối cùng.Sau khi loại bỏ mẫu số chung này, bất phương trình trở thành phương trình với tử số và ta sẽ cần phải giải những biểu thức còn lại ở tử số.Bạn cần lưu ý kiểm tra điều kiện xác định của bất phương trình khi giải các biểu thức ở tử số để đảm bảo không có giá trị nào làm cho mẫu số bằng không. Ví dụ, $$\sqrt{x} - 1 = 0$$ hay $$\sqrt{x} + 4 = 0$$ không thể xảy ra vì $$\sqrt{x} \neq 1$$ và $$\sqrt{x}$$ không thể âm.Hãy thực hiện tiếp việc giải bất phương trình bằng cách mở rộng và thu gọn các biểu thức. Bạn có thể tiếp tục làm điều này bằng cách sử dụng đại số để tìm ra tập hợp nghiệm của $$ x $$.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com