Example Question - rational function
Here are examples of questions we've helped users solve.
Determining the nth Term of a Rational Function Sequence
<p>Unfortunately, the image provided does not contain sufficient information for me to solve the question. There seems to be a part of the question cut off, preventing me from understanding the full context of the problem. To determine the nth term of a sequence defined by a rational function, I need complete and clear details of the sequence or the pattern it follows.</p>
Inverse Tangent of a Rational Function
<p>The given expression is:</p> <p>\[\tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\]</p> <p>Let's set \(y = \tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\). To find the value of \(\tan(y)\), we use the fact that \(\tan(\tan^{-1}(x)) = x\).</p> <p>\[\tan(y) = \frac{1+x}{1-x}\]</p> <p>We can represent \(y\) as the angle in a right triangle where the opposite side is \(1+x\) and the adjacent side is \(1-x\). To find the hypotenuse \(h\), we use the Pythagorean theorem:</p> <p>\[h = \sqrt{(1+x)^2 + (1-x)^2}\]</p> <p>\[h = \sqrt{1+2x+x^2 + 1-2x+x^2}\]</p> <p>\[h = \sqrt{2x^2 + 2}\]</p> <p>\[h = \sqrt{2(x^2 + 1)}\]</p> <p>Now we express \(\sin(y)\) and \(\cos(y)\) in terms of the sides of the triangle:</p> <p>\[\sin(y) = \frac{opposite}{hypotenuse} = \frac{1+x}{\sqrt{2(x^2 + 1)}}\]</p> <p>\[\cos(y) = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{1-x}{\sqrt{2(x^2 + 1)}}\]</p> <p>We use the identity \(\tan(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}\) to simplify:</p> <p>\[\tan(y) = \frac{\frac{1+x}{\sqrt{2(x^2 + 1)}}}{\frac{1-x}{\sqrt{2(x^2 + 1)}}}\]</p> <p>\[\tan(y) = \frac{1+x}{1-x}\]</p> <p>Which confirms our original expression. To find derivatives or perform integration, we would need additional context, as the problem does not specify an operation to perform with the given expression.</p>
Analysis of Rational Function for Asymptotes and Domain
<p>To determine the domain of f(x), find the x-values for which the denominator is non-zero:</p> <p>\[ x^2 - 1 \neq 0 \]</p> <p>\[ (x + 1)(x - 1) \neq 0 \]</p> <p>\[ x \neq \pm1 \]</p> <p>Thus, the domain of f(x) is all real numbers except x = -1 and x = 1.</p> <p>Next, identify any vertical asymptotes by setting the denominator equal to zero:</p> <p>\[ x^2 - 1 = 0 \]</p> <p>\[ x = \pm1 \]</p> <p>Therefore, there are vertical asymptotes at x = -1 and x = 1.</p> <p>To find horizontal asymptotes, examine the degrees of the numerator and denominator. Since the degree of the numerator (2) is the same as the degree of the denominator (2), compute the ratio of the leading coefficients:</p> <p>\[ \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{3x^2}{x^2-1} = 3 \]</p> <p>There is a horizontal asymptote at y = 3.</p> <p>Lastly, analyze the behavior of the function near the asymptotes. As x approaches 1 or -1 from the left or right, the function f(x) diverges to positive or negative infinity, depending on the direction of approach. The function approaches the horizontal asymptote y = 3 as x approaches plus or minus infinity.</p>
Finding the Derivative of a Rational Function
<p>Дана функция \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{2x^2 + 4} \). Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования частного:</p> <p>Пусть \( u(x) = x^2 - 4 \) и \( v(x) = 2x^2 + 4 \), тогда \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \).</p> <p>Производная \( u \) по \( x \): \( u'(x) = 2x \).</p> <p>Производная \( v \) по \( x \): \( v'(x) = 4x \).</p> <p>Теперь используем правило дифференцирования частного \( (u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):</p> <p>\[ f'(x) = \frac{(2x)(2x^2 + 4) - (x^2 - 4)(4x)}{(2x^2 + 4)^2} \]</p> <p>Упрощаем выражение:</p> <p>\[ f'(x) = \frac{(4x^3 + 8x) - (4x^3 - 16x)}{(2x^2 + 4)^2} \]</p> <p>\[ f'(x) = \frac{4x^3 + 8x - 4x^3 + 16x}{(2x^2 + 4)^2} \]</p> <p>\[ f'(x) = \frac{24x}{(2x^2 + 4)^2} \]</p> <p>Можно дополнительно упростить, вынеся константу за скобки:</p> <p>\[ f'(x) = \frac{24x}{4(x^2 + 2)^2} \]</p> <p>\[ f'(x) = \frac{6x}{(x^2 + 2)^2} \]</p> <p>Это и есть производная функции \( f(x) \).</p>
Calculating the Derivative of a Rational Function
Пусть функция \( y \) задана как \( y = \frac{x^5 - 4}{x^2 - 4x} \). Тогда ее производная \( y' \) может быть найдена с использованием правила дифференцирования частного: <p>\( y' = \frac{(x^2 - 4x)'(x^5 - 4) - (x^5 - 4)'(x^2 - 4x)}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{(2x - 4)(x^5 - 4) - (5x^4)(x^2 - 4x)}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> Теперь раскроем скобки в числителе: <p>\( y' = \frac{2x^6 - 8x - 4x^5 + 16 - 5x^6 + 20x^5}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> <p>\( y' = \frac{-3x^6 + 12x^5 - 8x + 16}{(x^2 - 4x)^2} \)</p> Это и будет искомая производная функции \( y \).
Integral of a Rational Function over a Radical
<p>\(\int \frac{1}{x^4 \sqrt{9 - x^2}} dx\)</p> <p>لحل هذا التكامل، نقوم عادةً بتعيين \(x = 3\sin(\theta)\) لتبسيط المعادلة تحت الجذر.</p> <p>إذًا، \(dx = 3\cos(\theta) d\theta\) و \(9 - x^2 = 9 - 9\sin^2(\theta)\).</p> <p>نستخدم هوية الجيب وجيب التمام \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), لنحصل على:</p> <p>\(\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9\cos^2(\theta)} = 3|\cos(\theta)|\).</p> <p>وبما أن \(\theta\) هو الأركسين لـ \(x/3\), فإن \(\cos(\theta) \geq 0\) وبالتالي \(|\cos(\theta)| = \cos(\theta)\).</p> <p>التكامل يصبح:</p> <p>\(\int \frac{1}{(3\sin(\theta))^4 \cdot 3\cos(\theta)} \cdot 3\cos(\theta) d\theta\)</p> <p>\(\int \frac{1}{(3\sin(\theta))^4} d\theta\)</p> <p>\(\int \frac{1}{81\sin^4(\theta)} d\theta\)</p> <p>لتبسيط التعبير ن更 استخدم الهوية \(sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\):</p> <p>\(\int \frac{4}{81(1 - \cos(2\theta))^2} d\theta\)</p> <p>ثم نستخدم تبسيطًا شائعًا ونقدم التكامل بصيغة تحويلات إلى كثيرات حدود:</p> <p>\(\int \frac{4}{81(1 - u)^2} \frac{du}{-2}\) حيث \(u = \cos(2\theta)\)</p> <p>\(-\frac{8}{81} \int \frac{1}{(1 - u)^2} du\)</p> <p>\(-\frac{8}{81} \left(-\frac{1}{1 - u}\right) + C\)</p> <p>\(\frac{8}{81(1 - \cos(2\theta))} + C\)</p> <p>ثم نعيد التعبير الى المتغير \(x\) باستخدام الهويات الأصلية:</p> <p>\(\frac{8}{81\left(1 - \left(1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)\right)\right)} + C\)</p> <p>\(\frac{8}{81\left(2\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)\right)} + C\)</p> <p>\(\frac{4}{81\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)} + C\)</p> <p>وهذا هو الحل النهائي للتكامل المعطى.</p>
Limit Calculation of a Rational Function
Para encontrar el límite cuando \( x \) se aproxima a 8 de la función dada, primero debemos simplificar la expresión algebraica. Esto se puede hacer factorizando tanto el numerador como el denominador. <p>Factorizamos el numerador:</p> \[ 3x^2 - 24x = 3x(x - 8) \] <p>Factorizamos el denominador (diferencia de cuadrados):</p> \[ x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8) \] <p>Dividimos el numerador y el denominador por la expresión común \( (x - 8) \):</p> \[ \frac{3x(x - 8)}{(x - 8)(x + 8)} = \frac{3x}{x + 8} \] <p>Tomamos el límite de la expresión simplificada como \( x \) se aproxima a 8:</p> \[ \lim_{x \to 8} \frac{3x}{x + 8} = \frac{3(8)}{8 + 8} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \] <p>Por lo tanto, el límite es \( \frac{3}{2} \).</p>
Calculating a Limit Involving a Rational Function
<p>Para resolver este límite, comenzaremos por evaluar la función en \( x = -1 \) para ver si el límite puede ser calculado directamente. Al reemplazar \( x \) por \( -1 \) en la función, obtenemos:</p> <p>\[ \frac{5(-1)^2 + 7(-1) + 2}{-1 + 1} = \frac{5 - 7 + 2}{0} = \frac{0}{0} \]</p> <p>El resultado \( \frac{0}{0} \) indica una indeterminación, lo cual significa que necesitamos aplicar otras técnicas para resolver el límite. Una técnica común es factorizar el numerador y el denominador, y luego simplificar. Sin embargo, en este caso, simplemente factorizando el numerador no es suficiente porque el denominador ya está simplificado y no tiene factores comunes con el numerador. Por lo tanto, debemos utilizar el teorema de L'Hôpital, que nos dice que si el límite de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) cuando \(x\) se acerca a un número es \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\), el límite puede ser el mismo que el límite de \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) siempre y cuando este último límite exista.</p> <p>Calculamos las derivadas del numerador y el denominador:</p> <p>\[ f'(x) = (5x^2 + 7x + 2)' = 10x + 7 \]</p> <p>\[ g'(x) = (x + 1)' = 1\]</p> <p>Ahora aplicamos L'Hôpital sustituyendo el numerador y el denominador por sus derivadas:</p> <p>\[ \lim_{{x \to -1}} \frac{5x^2 + 7x + 2}{x + 1} = \lim_{{x \to -1}} \frac{10x + 7}{1} \]</p> <p>\[ \lim_{{x \to -1}} (10x + 7) = 10(-1) + 7 = -10 + 7 = -3 \]</p> <p>Por lo tanto, el límite de la función cuando \( x \) se acerca a -1 es -3.</p>
Limit of a Rational Function as Variable Approaches a Value
<p>Primero, factorizamos tanto el numerador como el denominador de la función racional:</p> <p>\[ \lim_{{x \to 7}} \frac{{x^2 - 5x - 14}}{{x^2 - 49}} \]</p> <p>Factorizamos el numerador como \((x - 7)(x + 2)\) y el denominador como \((x + 7)(x - 7)\).</p> <p>La expresión queda:</p> <p>\[ \lim_{{x \to 7}} \frac{{(x - 7)(x + 2)}}{{(x + 7)(x - 7)}} \]</p> <p>Podemos cancelar \((x - 7)\) en el numerador y el denominador ya que \(x\) no es 7 (estamos evaluando el límite cuando \(x\) tiende a 7):</p> <p>\[ \lim_{{x \to 7}} \frac{{x + 2}}{{x + 7}} \]</p> <p>Ahora sustituimos \(x = 7\) en la expresión simplificada para obtener el valor del límite:</p> <p>\[ \frac{{7 + 2}}{{7 + 7}} = \frac{{9}}{{14}} \]</p> <p>Así, la solución es \(\frac{{9}}{{14}}\).</p>
Limit Calculation of a Rational Function as x Approaches a Specific Value
<p>Para resolver el límite, primero observamos la función racional y el valor al cual x se aproxima. Aquí, podemos aplicar la evaluación directa para resolver el límite:</p> <p>\[ \lim_{{x \to -1}} \frac{5x^2 + 7x + 2}{x + 1} \]</p> <p>Primero probamos sustituir el valor de x directamente en la función:</p> <p>\[ \frac{5(-1)^2 + 7(-1) + 2}{-1 + 1} \]</p> <p>\[ \frac{5(1) - 7 + 2}{0} \]</p> <p>\[ \frac{0}{0} \]</p> <p>Ya que obtenemos una forma indeterminada \(\frac{0}{0}\), necesitamos simplificar la función racional. Notamos que el numerador es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como \((5x+2)(x+1)\). La factorización nos da:</p> <p>\[ \frac{(5x+2)(x+1)}{x + 1} \]</p> <p>Podemos ahora simplificar la expresión cancelando el factor común \(x + 1\):</p> <p>\[ \frac{5x+2}{1} \]</p> <p>Ahora evaluamos el límite con x acercándose a -1:</p> <p>\[ \lim_{{x \to -1}} (5x+2) \]</p> <p>\[ 5(-1) + 2 \]</p> <p>\[ -5 + 2 \]</p> <p>\[ -3 \]</p> <p>Por lo tanto, el resultado del límite es -3.</p>
Integral Calculation for a Rational Function
<p>\( \int f(x) \,dx = \int \frac{3}{x} \,dx \)</p> <p>\( = 3 \int \frac{1}{x} \,dx \)</p> <p>\( = 3 \ln|x| + C \)</p> <p>where \( C \) is the constant of integration.</p>
Limit Calculation of Rational Function
The limit given in the image is \[ \lim_{{x \to 5}} \frac{x - 5}{x^2 - 25} \] We can start by factoring the denominator: \[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \] The expression for the limit then becomes: \[ \lim_{{x \to 5}} \frac{x - 5}{(x - 5)(x + 5)} \] We can simplify the expression by canceling out the common factor of \(x - 5\) in the numerator and the denominator: \[ \lim_{{x \to 5}} \frac{1}{x + 5} \] Now we can directly substitute \(x = 5\) into the simplified expression, as there are no more discontinuities: \[ \frac{1}{5 + 5} = \frac{1}{10} \] So, the value of the limit is \(\frac{1}{10}\).
Differentiation of a Rational Function
The function provided in the image is: \[ y = \frac{x^5 - 5x^6 + 5}{x^4} \] To differentiate this function with respect to \( x \), you can first simplify the expression by dividing each term by \( x^4 \). This gives us: \[ y = x - 5x^2 + \frac{5}{x^4} \] Now, let's differentiate term by term using basic differentiation rules: 1. The derivative of \( x \) with respect to \( x \) is 1. 2. The derivative of \( -5x^2 \) with respect to \( x \) is \( -10x \). 3. The derivative of \( \frac{5}{x^4} \) with respect to \( x \) is \( -20x^{-5} \) (using the power rule and multiplying by the constant 5). Combining these results: \[ \frac{dy}{dx} = 1 - 10x - 20x^{-5} \] Or, if we express the last term with positive exponents: \[ \frac{dy}{dx} = 1 - 10x - \frac{20}{x^5} \]
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