Question - Limit of a Rational Function as Variable Approaches a Value

Primero, factorizamos tanto el numerador como el denominador de la función racional:

\[ \lim_{{x \to 7}} \frac{{x^2 - 5x - 14}}{{x^2 - 49}} \]

Factorizamos el numerador como \((x - 7)(x + 2)\) y el denominador como \((x + 7)(x - 7)\).

La expresión queda:

\[ \lim_{{x \to 7}} \frac{{(x - 7)(x + 2)}}{{(x + 7)(x - 7)}} \]

Podemos cancelar \((x - 7)\) en el numerador y el denominador ya que \(x\) no es 7 (estamos evaluando el límite cuando \(x\) tiende a 7):

\[ \lim_{{x \to 7}} \frac{{x + 2}}{{x + 7}} \]

Ahora sustituimos \(x = 7\) en la expresión simplificada para obtener el valor del límite:

\[ \frac{{7 + 2}}{{7 + 7}} = \frac{{9}}{{14}} \]

Así, la solución es \(\frac{{9}}{{14}}\).