Question - Calculating a Limit Involving a Rational Function

Para resolver este límite, comenzaremos por evaluar la función en \( x = -1 \) para ver si el límite puede ser calculado directamente. Al reemplazar \( x \) por \( -1 \) en la función, obtenemos:

\[ \frac{5(-1)^2 + 7(-1) + 2}{-1 + 1} = \frac{5 - 7 + 2}{0} = \frac{0}{0} \]

El resultado \( \frac{0}{0} \) indica una indeterminación, lo cual significa que necesitamos aplicar otras técnicas para resolver el límite. Una técnica común es factorizar el numerador y el denominador, y luego simplificar. Sin embargo, en este caso, simplemente factorizando el numerador no es suficiente porque el denominador ya está simplificado y no tiene factores comunes con el numerador. Por lo tanto, debemos utilizar el teorema de L'Hôpital, que nos dice que si el límite de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) cuando \(x\) se acerca a un número es \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\), el límite puede ser el mismo que el límite de \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) siempre y cuando este último límite exista.

Calculamos las derivadas del numerador y el denominador:

\[ f'(x) = (5x^2 + 7x + 2)' = 10x + 7 \]

\[ g'(x) = (x + 1)' = 1\]

Ahora aplicamos L'Hôpital sustituyendo el numerador y el denominador por sus derivadas:

\[ \lim_{{x \to -1}} \frac{5x^2 + 7x + 2}{x + 1} = \lim_{{x \to -1}} \frac{10x + 7}{1} \]

\[ \lim_{{x \to -1}} (10x + 7) = 10(-1) + 7 = -10 + 7 = -3 \]

Por lo tanto, el límite de la función cuando \( x \) se acerca a -1 es -3.