Question - Limit Calculation of a Rational Function as x Approaches a Specific Value

Para resolver el límite, primero observamos la función racional y el valor al cual x se aproxima. Aquí, podemos aplicar la evaluación directa para resolver el límite:

\[ \lim_{{x \to -1}} \frac{5x^2 + 7x + 2}{x + 1} \]

Primero probamos sustituir el valor de x directamente en la función:

\[ \frac{5(-1)^2 + 7(-1) + 2}{-1 + 1} \]

\[ \frac{5(1) - 7 + 2}{0} \]

\[ \frac{0}{0} \]

Ya que obtenemos una forma indeterminada \(\frac{0}{0}\), necesitamos simplificar la función racional. Notamos que el numerador es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como \((5x+2)(x+1)\). La factorización nos da:

\[ \frac{(5x+2)(x+1)}{x + 1} \]

Podemos ahora simplificar la expresión cancelando el factor común \(x + 1\):

\[ \frac{5x+2}{1} \]

Ahora evaluamos el límite con x acercándose a -1:

\[ \lim_{{x \to -1}} (5x+2) \]

\[ 5(-1) + 2 \]

\[ -5 + 2 \]

\[ -3 \]

Por lo tanto, el resultado del límite es -3.