Question - Integral of a Rational Function over a Radical
Solution:
\(\int \frac{1}{x^4 \sqrt{9 - x^2}} dx\)
لحل هذا التكامل، نقوم عادةً بتعيين \(x = 3\sin(\theta)\) لتبسيط المعادلة تحت الجذر.
إذًا، \(dx = 3\cos(\theta) d\theta\) و \(9 - x^2 = 9 - 9\sin^2(\theta)\).
نستخدم هوية الجيب وجيب التمام \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), لنحصل على:
\(\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9\cos^2(\theta)} = 3|\cos(\theta)|\).
وبما أن \(\theta\) هو الأركسين لـ \(x/3\), فإن \(\cos(\theta) \geq 0\) وبالتالي \(|\cos(\theta)| = \cos(\theta)\).
التكامل يصبح:
\(\int \frac{1}{(3\sin(\theta))^4 \cdot 3\cos(\theta)} \cdot 3\cos(\theta) d\theta\)
\(\int \frac{1}{(3\sin(\theta))^4} d\theta\)
\(\int \frac{1}{81\sin^4(\theta)} d\theta\)
لتبسيط التعبير ن更 استخدم الهوية \(sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\):
\(\int \frac{4}{81(1 - \cos(2\theta))^2} d\theta\)
ثم نستخدم تبسيطًا شائعًا ونقدم التكامل بصيغة تحويلات إلى كثيرات حدود:
\(\int \frac{4}{81(1 - u)^2} \frac{du}{-2}\) حيث \(u = \cos(2\theta)\)
\(-\frac{8}{81} \int \frac{1}{(1 - u)^2} du\)
\(-\frac{8}{81} \left(-\frac{1}{1 - u}\right) + C\)
\(\frac{8}{81(1 - \cos(2\theta))} + C\)
ثم نعيد التعبير الى المتغير \(x\) باستخدام الهويات الأصلية:
\(\frac{8}{81\left(1 - \left(1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)\right)\right)} + C\)
\(\frac{8}{81\left(2\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)\right)} + C\)
\(\frac{4}{81\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)} + C\)
وهذا هو الحل النهائي للتكامل المعطى.
Tutor Solution:
التكامل المعطى هو:
\[ \int \frac{1}{x^4 \sqrt{9-x^2}} dx \]أولًا، لنقم بإجراء استبدال بجعل:
\[ x = 3\sin(\theta) \]ومن ثم، نحصل على:
\[ dx = 3\cos(\theta)d\theta \]وبتعويض هذا في التكامل، يصبح لدينا:
\[ \int \frac{1}{(3\sin(\theta))^4 \sqrt{9 - (3\sin(\theta))^2}} \cdot 3\cos(\theta)d\theta \]بتبسيط المقام، نحصل:
\[ \int \frac{1}{81\sin^4(\theta) \sqrt{9 - 9\sin^2(\theta)}} \cdot 3\cos(\theta)d\theta \]سنلاحظ أن \( \sqrt{9 - 9\sin^2(\theta)} \) يمكن كتابتها كـ \( 3\cos(\theta) \)، وبالتالي:
\[ \int \frac{3\cos(\theta)}{81\sin^4(\theta) \cdot 3\cos(\theta)} d\theta \]نلغي \( 3\cos(\theta) \) من البسط والمقام لتبسيط التعبير أكثر:
\[ \int \frac{1}{81\sin^4(\theta)} d\theta \]نقوم بكتابة \( \sin^4(\theta) \) كـ \( (\sin^2(\theta))^2 \) ونعرف أن \( \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \):
\[ \int \frac{1}{81\left(\frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\right)^2} d\theta \]نقوم بتبسيط المعادلة أكثر لحل التكامل:
\[ \int \frac{2^2}{81(1 - \cos(2\theta))^2} d\theta \]يمكننا الآن حل التكامل باستخدام طرق التكامل المختلفة، مثل التكامل بالتجزئة أو استخدام تكاملات معينة. سنحتاج إلى استخدام تكنيكات مثل تحليل التعابير المثلثية واستخدام التكاملات المثلثية للحصول على النتيجة النهائية.
هذه من أكثر الخطوات تعقيداً وتحتاج إلى الحذر والدقة في التطبيق، وقد تتطلب تبسيطاً أكثر عن طريق سلسلة من التحويلات الجبرية والمثلثية.
ما ورد أعلاه هو عملية التفكير التي يجب عليك اتباعها لتبدأ في حل التكامل. ستحتاج إلى مزيد من العمل لإنهاء التكامل وإيجاد الوظيفة الأصلية.CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com