Example Question - quadratic function
Here are examples of questions we've helped users solve.
Definite Integral of a Quadratic Function
Para resolver la integral definida, primero encontraremos la antiderivada de \( x^2 + x - 9 \). <p>\( \int x^2 + x - 9 \, dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 9x + C \)</p> Ahora evaluaremos esta antiderivada en los límites superior e inferior de la integral. <p>\( \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 9x \right]_{5}^{10} \)</p> <p>\( = \left( \frac{1}{3}(10)^3 + \frac{1}{2}(10)^2 - 9(10) \right) - \left( \frac{1}{3}(5)^3 + \frac{1}{2}(5)^2 - 9(5) \right) \)</p> <p>\( = \left( \frac{1}{3}(1000) + \frac{1}{2}(100) - 90 \right) - \left( \frac{1}{3}(125) + \frac{1}{2}(25) - 45 \right) \)</p> <p>\( = \left( 333\frac{1}{3} + 50 - 90 \right) - \left( 41\frac{2}{3} + 12\frac{1}{2} - 45 \right) \)</p> <p>\( = 293\frac{1}{3} - 8\frac{5}{6} \)</p> <p>\( = 293\frac{1}{3} - 8\frac{10}{12} \)</p> <p>\( = 293\frac{4}{12} - 8\frac{10}{12} \)</p> <p>\( = 284\frac{6}{12} \)</p> <p>\( = 284\frac{1}{2} \)</p> La integral definida de \( x^2 + x - 9 \) de 5 a 10 es \( 284\frac{1}{2} \) o \( 284.5 \).
Finding the Vertex of a Quadratic Function
<p>Para encontrar el vértice de la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x \), podemos usar la fórmula del vértice para una parábola de la forma \( ax^2 + bx + c \), donde el vértice está dado por \( h = -\frac{b}{2a} \).</p> <p>En este caso, \( a = 2 \) y \( b = -8 \). Sustituyendo estos valores en la fórmula:</p> <p>\( h = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)</p> <p>Para encontrar el valor de \( k \), el cual es el valor de \( f(x) \) en \( h \):</p> <p>\( k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) = 2 \cdot 4 - 16 = 8 - 16 = -8 \)</p> <p>Así, el vértice de la parábola es \( (h, k) = (2, -8) \).</p>
Finding the Vertex of a Quadratic Function
Para encontrar el vértice de una función cuadrática de la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \), podemos usar la fórmula del vértice \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). <p>La función dada es \( f(x) = 12x - 2x^2 \), que se puede reescribir como \( f(x) = -2x^2 + 12x \).</p> <p>Comparando con la forma estándar \( ax^2 + bx + c \), tenemos \( a = -2 \), \( b = 12 \), y \( c = 0 \).</p> <p>Usamos la fórmula del vértice para encontrar la coordenada x del vértice: \( -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3 \).</p> <p>Para encontrar la coordenada y del vértice, substituimos \( x \) con \( 3 \) en la función \( f(x) \):</p> <p>\( f(3) = -2(3)^2 + 12(3) = -2(9) + 36 = -18 + 36 = 18 \).</p> <p>Por lo tanto, el vértice de la función cuadrática es \( (3, 18) \).</p>
Finding the Vertex of a Quadratic Function
<p>La función cuadrática dada es \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \).</p> <p>Para encontrar el vértice de una función cuadrática en la forma \( y = ax^2 + bx + c \), usamos la fórmula para \( x \) del vértice \( x_v = \frac{-b}{2a} \).</p> <p>Sustituimos \( a = 1 \) y \( b = -4 \) en la fórmula:</p> <p>\[ x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]</p> <p>Ahora, encontramos el valor de \( y \) sustituyendo \( x_v \) en la ecuación original:</p> <p>\[ f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \]</p> <p>Por lo tanto, el vértice de la función cuadrática es \( (2, -1) \).</p>
Analysis of Parabolic Functions
Para la función \( y = 2x^2 - 8x + 4 \): <p>Eje de simetría: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{4} = 2 \)</p> <p>Vértice: Sustituir \( x = 2 \) en la ecuación para obtener \( y \). Entonces \( y = 2(2)^2 - 8(2) + 4 = 8 - 16 + 4 = -4 \). Entonces el vértice es \( (2, -4) \).</p> <p>Intercepto y: Cuando \( x = 0 \), \( y = 4 \).</p> <p>Ceros: Factorizar o usar la fórmula cuadrática si es necesario. \( 2x^2 - 8x + 4 = 0 \). Utilizando factorización: \( 2(x^2 - 4x + 2) = 0 \). Esta ecuación no se factoriza con números enteros, por lo tanto, se aplica la fórmula cuadrática: \( x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2-4(2)(4)}}{2(2)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{4} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{4} = 2 \pm \sqrt{2} \).</p> <p>Dominio: Todos los valores reales de \( x \).</p> <p>Recorrido: Dado que \( a > 0 \), la parábola se abre hacia arriba y el recorrido es \( y \geq -4 \).</p> Para la función \( y = -2x^2 - 4 \): <p>Eje de simetría: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{0}{-4} = 0 \).</p> <p>Vértice: Sustituir \( x = 0 \) en la ecuación para obtener \( y \). Entonces \( y = -2(0)^2 - 4 = -4 \). Entonces el vértice es \( (0, -4) \).</p> <p>Intercepto y: Cuando \( x = 0 \), \( y = -4 \).</p> <p>Ceros: Factorizar o usar la fórmula cuadrática si es necesario. \( -2x^2 - 4 = 0 \). Factorizar: \( -2(x^2 + 2) = 0 \). Esta ecuación no tiene soluciones reales porque la suma de un cuadrado y un número positivo nunca puede ser cero, así que no hay ceros.</p> <p>Dominio: Todos los valores reales de \( x \).</p> <p>Recorrido: Dado que \( a < 0 \), la parábola se abre hacia abajo y el recorrido es \( y \leq -4 \).</p>
Completing a Function Table
<p>Para completar la tabla de la función \( f(x) = -x^2 - 8x + 7 \), sustituya los valores de x en la función y calcule los valores correspondientes de \( f(x) \).</p> <p>Para x = 0:</p> <p>\( f(0) = -(0)^2 - 8(0) + 7 = 7 \)</p> <p>Para x = 1:</p> <p>\( f(1) = -(1)^2 - 8(1) + 7 = -1^2 - 8 + 7 = -1 - 8 + 7 = -2 \)</p> <p>Para x = 2:</p> <p>\( f(2) = -(2)^2 - 8(2) + 7 = -2^2 - 16 + 7 = -4 - 16 + 7 = -13 \)</p> <p>Para x = 3:</p> <p>\( f(3) = -(3)^2 - 8(3) + 7 = -3^2 - 24 + 7 = -9 - 24 + 7 = -26 \)</p> <p>Para x = 4:</p> <p>\( f(4) = -(4)^2 - 8(4) + 7 = -4^2 - 32 + 7 = -16 - 32 + 7 = -41 \)</p> <p>Para x = 5:</p> <p>\( f(5) = -(5)^2 - 8(5) + 7 = -5^2 - 40 + 7 = -25 - 40 + 7 = -58 \)</p> <p>Para x = 6:</p> <p>\( f(6) = -(6)^2 - 8(6) + 7 = -6^2 - 48 + 7 = -36 - 48 + 7 = -77 \)</p> <p>Por lo tanto, la tabla completa sería:</p> <p>\[ \begin{align*} x & : 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ f(x) & : 7 & -2 & -13 & -26 & -41 & -58 & -77 & - & 7 \\ \end{align*} \]</p> <p>Nota: El valor especificado para \( x = 7 \) no está dado en la imagen y no se calcula aquí porque normalmente completaríamos la tabla con valores consecutivos de x y, en este caso, el valor para \( x = 8 \) ya nos lo han proporcionado. Sin embargo, si se desea calcular \( f(7) \), se sigue el mismo procedimiento que con los otros valores de x.</p>
Quadratic Function Table Completion
<p>Para completar la tabla, sustituiremos cada valor de \( x \) en la función cuadrática \( f(x) = x^2 - 8x + 7 \) y resolveremos para \( f(x) \).</p> <p>Para \( x = 0 \):</p> \( f(0) = (0)^2 - 8(0) + 7 = 0 - 0 + 7 = 7 \) <p>Para \( x = 1 \):</p> \( f(1) = (1)^2 - 8(1) + 7 = 1 - 8 + 7 = 0 \) <p>Para \( x = 2 \):</p> \( f(2) = (2)^2 - 8(2) + 7 = 4 - 16 + 7 = -5 \) <p>Para \( x = 3 \):</p> \( f(3) = (3)^2 - 8(3) + 7 = 9 - 24 + 7 = -8 \) <p>Para \( x = 4 \):</p> \( f(4) = (4)^2 - 8(4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \) <p>Para \( x = 5 \):</p> \( f(5) = (5)^2 - 8(5) + 7 = 25 - 40 + 7 = -8 \) <p>Para \( x = 6 \):</p> \( f(6) = (6)^2 - 8(6) + 7 = 36 - 48 + 7 = -5 \) <p>La tabla completa sería:</p> <p>\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 7 \\ 1 & 0 \\ 2 & -5 \\ 3 & -8 \\ 4 & -9 \\ 5 & -8 \\ 6 & -5 \\ 7 & 0 \\ 8 & 7 \\ \end{array} \] </p>
Analysis of a Quadratic Function Graph
<p>To determine the coordinates of point \(Q\):</p> <p>Point \(Q\) lies on the x-axis, which means the y-coordinate is 0.</p> <p>Set the function \(f(x)=x^2+6x-5\) equal to 0 and solve for \(x\):</p> <p>\(x^2+6x-5=0\)</p> <p>\(x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4(1)(-5)}}{2(1)}\)</p> <p>\(x=\frac{-6\pm\sqrt{36+20}}{2}\)</p> <p>\(x=\frac{-6\pm\sqrt{56}}{2}\)</p> <p>\(x=\frac{-6\pm 2\sqrt{14}}{2}\)</p> <p>\(x=-3\pm\sqrt{14}\)</p> <p>Since \(Q\) is to the right of the y-axis, we take the positive value:</p> <p>\(Q=(x, y)\)</p> <p>\(Q=(-3+\sqrt{14}, 0)\)</p> <p>To determine the maximum point \(P\):</p> <p>The vertex of a parabola \(y=ax^2+bx+c\) is given by the formula \(x=-\frac{b}{2a}\).</p> <p>In this function \(a=1\) and \(b=6\), so:</p> <p>\(x_P=-\frac{6}{2(1)}\)</p> <p>\(x_P=-3\)</p> <p>Substitute \(x_P\) into the function to find \(y_P\):</p> <p>\(y_P=(x_P)^2+6x_P-5\)</p> <p>\(y_P=(-3)^2+6(-3)-5\)</p> <p>\(y_P=9-18-5\)</p> <p>\(y_P=-14\)</p> <p>So the maximum point \(P\) is:</p> <p>\(P=(x_P, y_P)\)</p> <p>\(P=(-3, -14)\)</p>
Analysis of Quadratic Function Graph Features
<p>To locate minimum Q, the coordinates of vertex \( Q \) of the parabola \( f(x) = ax^2 + bx + c \) can be found by using the vertex formula \( x = -\frac{b}{2a} \). The given equation can be rewritten as \( f(x) = -x^2 + 5 \), therefore we have \( a = -1 \) and \( b = 0 \).</p> <p>\[ x_Q = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0 \]</p> <p>To find the y-coordinate of Q, substitute \( x_Q \) into \( f(x) \),</p> <p>\[ y_Q = f(x_Q) = -x_Q^2 + 5 = -(0)^2 + 5 = 5 \]</p> <p>Thus the coordinates of Q are \( (0,5) \).</p> <p>Given that the parabola opens downward (\( a < 0 \)), the vertex is the maximum point P. Therefore, the maximum point P is also at \( (0,5) \).</p>
Calculating the Average Value of a Quadratic Function on a Given Interval
لا يمكن تحديد حل السؤال بشكل دقيق لأن الصورة لا توضح الفترة الزمنية المطلوبة للتكامل. يرجى تقديم الفترة الزمنية المحددة لحساب قيمة المتوسط.
Finding the Inverse of a Quadratic Function
<p>Sea \( g(x) = x^2 - 1 \) la función dada, y queremos encontrar \( g^{-1}(x) \).</p> <p>Para encontrar la función inversa, primero reemplazamos \( g(x) \) por \( y \):</p> <p>\( y = x^2 - 1 \)</p> <p>Luego, resolvemos para \( x \) en términos de \( y \):</p> <p>\( y + 1 = x^2 \)</p> <p>\( x = \sqrt{y + 1} \), pero dado que el dominio está restringido a los números reales positivos, asumimos que \( x \) también es positivo.</p> <p>Ahora intercambiamos \( x \) e \( y \) para obtener la función inversa:</p> <p>\( y = \sqrt{x + 1} \)</p> <p>Por lo tanto, la expresión algebraica de \( g^{-1}(x) \) es \( \sqrt{x + 1} \).</p>
Finding the Integral of a Quadratic Function
<p>\(\int f(x) \,dx = \int x^2 \,dx\)</p> <p>\(= \frac{x^{2+1}}{2+1} + C\)</p> <p>\(= \frac{x^3}{3} + C\)</p>
Finding the Value of c in a Quadratic Function
Intersep-y diberikan oleh f(0). Oleh itu, gantikan x dengan 0 dalam fungsi kuadratik: f(x) = -2x^2 + 3x + c f(0) = -2(0)^2 + 3(0) + c f(0) = 0 + 0 + c f(0) = c Kita tahu intersep-y adalah -5: c = -5 Jadi, nilai c ialah -5.
Calculating Increment of Quadratic Function
Para resolver esta pregunta, necesitamos calcular el incremento de la función \( f(x) = x^2 \) cuando \( x \) cambia de 2 a 6. El incremento \( \Delta f \) de una función se define como el cambio en el valor de la función \( f \) según el cambio en el valor de su variable independiente \( x \); es decir, \[ \Delta f = f(x_2) - f(x_1) \] donde \( x_2 \) es el valor final de la variable \( x \) y \( x_1 \) es el valor inicial. En este caso, queremos el incremento cuando \( x \) va de 2 a 6, por lo tanto \( x_1 = 2 \) y \( x_2 = 6 \). Calculamos los valores de la función para cada uno de estos puntos: \[ f(2) = 2^2 = 4 \] \[ f(6) = 6^2 = 36 \] Luego, encontramos el incremento \( \Delta f \): \[ \Delta f = f(6) - f(2) \] \[ \Delta f = 36 - 4 \] \[ \Delta f = 32 \] Así que el incremento de la función cuando \( x \) cambia de 2 a 6 es 32.
Conditions for Function to be Decreasing
Chúng ta cần tìm điều kiện của \( a \) để hàm số \( f(x) = ax^2 + bx + c \) có \( f'(x) < 0 \). Hàm số này là một hàm bậc hai với \( a \) là hệ số của \( x^2 \). Hàm số đồng biến khi \( f'(x) > 0 \) và nghịch biến khi \( f'(x) < 0 \). Để xác định dấu của \( f'(x) \), ta cần tìm đạo hàm bậc nhất của \( f(x) \): \( f'(x) = 2ax + b \) Để \( f'(x) < 0 \) với mọi \( x \), \( a \) phải nhỏ hơn 0 (vì nếu \( a > 0 \), sẽ tồn tại giá trị \( x \) sao cho \( 2ax + b > 0 \), và ngược lại, nếu \( a = 0 \), đạo hàm sẽ không phụ thuộc vào \( x \) mà chỉ là hằng số \( b \), không thể đảm bảo \( f'(x) < 0 \) với mọi \( x \)). Như vậy, điều kiện cần tìm của \( a \) là: \( a < 0 \) Vì vậy, phương án đúng là C. \( a < 0 \).
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