CamTutor

Example Question - polynomial division

Here are examples of questions we've helped users solve.

Simplifying a Complex Fraction with Polynomials

Первый шаг - упростить числитель и знаменатель дроби, если это возможно. \[ \frac{{x^5 - 5x^2 + 8x + 4}}{{x^3 - x^2}} + \frac{{x + 2}}{{x^2}} \] Знаменатель первой дроби можно упростить, вынеся x^2: \[ x^2 \left( \frac{{x^3 - 5x + 8}}{{x}} + 4 \right) \] Знаменатель первой дроби теперь $ x $, а второй $ x^2 $. Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю $ x^2 $: \[ \frac{{x(x^3 - 5x + 8) + 4x^2}}{{x^2}} + \frac{{x + 2}}{{x^2}} \] Теперь складываем числители двух дробей: \[ \frac{{x^4 - 5x^2 + 8x + 4x^2 + x + 2}}{{x^2}} \] Упрощаем выражение в числителе: \[ \frac{{x^4 - x^2 + 8x + 2}}{{x^2}} \] Финальный шаг – разделить каждый член в числителе на $ x^2 $: \[ x^2 - 1 + 8 \cdot \frac{x}{{x^2}} + \frac{2}{{x^2}} \] Результат: \[ x^2 - 1 + \frac{8}{x} + \frac{2}{{x^2}} \]

Algebraic Fraction Simplification

Para resolver la fracción algebraica dada, se sigue el proceso de simplificación y división de polinomios: El numerador es $t - t^3$ y el denominador es $t + 5$. Extraemos t como factor común en el numerador: $$ t - t^3 = t(1 - t^2) $$ Ahora factorizamos la expresión entre paréntesis como una diferencia de cuadrados: $$ 1 - t^2 = (1 - t)(1 + t) $$ Por lo tanto, el numerador se convierte en: $$ t(1 - t)(1 + t) $$ El denominador permanece igual, por lo que la fracción completa es: $$ \frac{t(1 - t)(1 + t)}{t + 5} $$ No se pueden cancelar términos entre el numerador y el denominador, ya que no hay factores comunes, por lo que esta es la forma simplificada de la fracción algebraica. El paso final es aplicar el exponente negativo al resultado que es equivalente a tomar el recíproco de la fracción: $$ \left(\frac{t(1 - t)(1 + t)}{t + 5}\right)^{-1} = \frac{t + 5}{t(1 - t)(1 + t)} $$ La expresión final es la fracción con el exponente aplicado.

Polynomial Long Division Practice Problems

Chúng ta có thể thấy rằng các biểu thức đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần về số mũ của 'x'. Đề bài yêu cầu xác định cách biểu thức này có thể được viết hoặc rút gọn. Cách tiếp cận phổ biến là xem xét mỗi biểu thức và tìm cách chia đa thức hoặc rút gọn chúng. Để giải quyết vấn đề này, mỗi biểu thức sẽ được phân tích và rút gọn riêng lẻ. Tuy nhiên, bạn không cung cấp dữ liệu đầu vào cụ thể nên tôi sẽ đi qua mỗi biểu thức mà không cần giá trị cụ thể cho 'x': 2/ (x+1)(x-2)(x+3)(x+4) - 24 = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x - 6) - 24 4/ (x^2 + x)^2 + 4x^2 + 4x - 12 = (x^4 + 2x^3 + 2x^2) + 4x^2 + 4x - 12 6/ (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a^4 = (x^2 + 5ax + 4a^2)(x^2 + 5ax + 6a^2) + a^4 8/ (x^2 + x)^2 + 3(x^2 + x) + 2 = (x^4 + 2x^3 + x^2) + 3x^2 + 3x + 2 10/ (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) + 9x^2 + 18x + 20 12/ (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 = (x^2 + 10x + 32)(x^2 + 10x + 48) + 16 Lưu ý rằng tôi đã mở rộng mỗi biểu thức để hiển thị các đa thức dưới dạng tổng của các biểu thức đơn giản hơn. Để hoàn tất việc rút gọn, cần phải thực hiện phép cộng, phép trừ và phép chia đa thức để thu gọn các biểu thức. Tuy nhiên, vì không có giá trị cụ thể cho 'x' hoặc 'a', tôi không thể cung cấp một câu trả lời hoàn chỉnh.

Synthetic Division of Polynomial by Linear Factor

Para dividir el polinomio $ Q(x) = 3x^3 + 4x^2 - 6x - 3 $ entre $ x + \frac{1}{4} $, se puede usar la división sintética, pero primero hay que convertir $ x + \frac{1}{4} $ en un monomio de la forma $ x - c $, donde $ c $ es la raíz del divisor. Primero, identifica la raíz del divisor: si $ x + \frac{1}{4} = 0 $, entonces $ x = -\frac{1}{4} $. Ahora usa la raíz $ -\frac{1}{4} $ para dividir sintéticamente: Paso 1: Escribe los coeficientes de $ Q(x) $: $ 3, 4, -6, -3 $. Paso 2: Escribe la raíz $ -\frac{1}{4} $ del divisor en el lado izquierdo. ``` _____________________ -1/4 | 3 4 -6 -3 ``` Paso 3: Baja el primer coeficiente: ``` _____________________ -1/4 | 3 4 -6 -3 |_____________________ 3 ``` Paso 4: Multiplica la raíz por el primer coeficiente y escribelo bajo el segundo coeficiente: ``` _____________________ -1/4 | 3 4 -6 -3 |_____________________ 3 -3/4 ``` Paso 5: Suma la columna y repite el procedimiento: ``` _____________________ -1/4 | 3 4 -6 -3 |_____________________ 3 13/4 -11/2 ``` Paso 6: Continúa hasta que se completen todas las columnas: ``` _____________________ -1/4 | 3 4 -6 -3 |_____________________ 3 13/4 -5/4 -2 ``` El resultado de la división sintética son los coeficientes del cociente: El cociente es $ 3x^2 + \frac{13}{4}x - \frac{5}{4} $ y el residuo es $ -2 $. Por lo tanto, la división de $ Q(x) $ entre $ x + \frac{1}{4} $ da como resultado: \[ Q(x) = (3x^2 + \frac{13}{4}x - \frac{5}{4}) + \frac{-2}{x + \frac{1}{4}} \]

Optimizing Expression with Cauchy-Schwarz Inequality

Vấn đề của bạn là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = \frac{x^3 - 2lx + 2025}{x^2} $ với $ x \neq 0 $. Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, chúng ta cần tiến hành phép chia đa thức: Đầu tiên, tách 2025 thành 2lx và một số còn lại để thực hiện phép chia: 2025 = 2lk + m, với l là giá trị mà chúng ta sẽ tìm, k là giá trị cố định (vì 2l là hệ số của x), và m là số dư còn lại. Bây giờ, chúng ta có thể viết lại biểu thức P như sau: \[ P = x - \frac{2l}{x} + \frac{m}{x^2} \] Chúng ta cần phải tối ưu hóa biểu thức này để tìm giá trị nhỏ nhất. Để làm điều đó, chúng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, một công cụ mạnh để xử lý các vấn đề tối ưu hóa trong toán học: Bất đẳng thức này có thể được viết là: \[ (\frac{2l}{x} + \frac{\sqrt{m}}{x})^2 \leq (1+1)(\frac{4l^2}{x^2}+\frac{m}{x^2}) \] \[ 4l^2 + 4l\sqrt{m} + m \leq \frac{4l^2}{x^2} + \frac{2m}{x^2} + 2 \] Chúng ta muốn tìm giá trị nhỏ nhất của P, tức là: \[ x - \frac{2l}{x} + \frac{m}{x^2} \geq x - \sqrt{4l^2 + 4l\sqrt{m} + m} \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của P chính là: \[ x - \sqrt{4l^2 + 4l\sqrt{m} + m} \] Để thực hiện tiếp, chúng ta cần thông tin cụ thể về l và m mà không được cung cấp trong câu hỏi. Nếu bạn cung cấp thông tin chi tiết hơn, tôi có thể giúp bạn hoàn thành bài toán.

Finding Remainder of Polynomial Division Using the Remainder Theorem

The question asks for the remainder when the polynomial $-x^3 + x^2 + 5x - 6$ is divided by the binomial $x + 3$. To find the remainder without performing the entire polynomial long division, we can use the Remainder Theorem. According to the Remainder Theorem, if a polynomial $f(x)$ is divided by $x - a$, the remainder is $f(a)$. Since we're dividing by $x + 3$, we can apply the Remainder Theorem by substituting $x = -3$ into the polynomial: \[ f(-3) = -(-3)^3 + (-3)^2 + 5(-3) - 6 \] \[ f(-3) = -(-27) + 9 - 15 - 6 \] \[ f(-3) = 27 + 9 - 15 - 6 \] \[ f(-3) = 36 - 21 \] \[ f(-3) = 15 \] So the remainder is 15, which corresponds to option B.

Polynomial Division Calculation

Dựa vào phép tính trong hình ảnh, chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức. $ D = \frac{12a^4 - 6a^3 - 4a^2}{-2a^2} $ Bây giờ, ta sẽ chia từng hạng tử của đa thức trên cùng cho `-2a^2`: $ D = \frac{12a^4}{-2a^2} - \frac{6a^3}{-2a^2} - \frac{4a^2}{-2a^2} $ Thực hiện phép chia cho từng hạng tử: $ D = -6a^{4-2} + 3a^{3-2} + 2a^{2-2} $ Đơn giản hóa các số mũ của a: $ D = -6a^2 + 3a^1 + 2a^0 $ Vì mọi số mũ 0 đều cho kết quả là 1, $a^0$ sẽ là 1. Và $a^1$ là $a$, nên ta có: $ D = -6a^2 + 3a + 2 $ Vậy, phép chia đa thức đã cho kết quả là $ -6a^2 + 3a + 2 $.

Polynomial Operations and Division

Dưới đây là phần giải các câu hỏi trong hình: **Bài 13:** a) Ta cần tính $ M(x) = A(x) + B(x) - C(x) $. Ta có: $ A(x) = -8x^4 + 2x^3 + 5x^2 $, $ B(x) = 10x^4 + 2x^2 - 7x $, $ C(x) = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 3x - 6 $. Khi đó, $ M(x) $ sẽ là tổng của $ A(x) $ và $ B(x) $ trừ đi $ C(x) $: $ M(x) = (-8x^4 + 2x^3 + 5x^2) + (10x^4 + 2x^2 - 7x) - (x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 3x - 6) $. Sau khi cộng và trừ hợp lý, ta được: $ M(x) = (-8x^4 + 10x^4 - x^4) + (2x^3 - 2x^3) + (5x^2 + 2x^2 - 5x^2) + (0 - 7x - 3x) - (-6) $, $ M(x) = x^4 - 10x + 6 $. b) Ta tiếp tục tính $ N(x) = A(x) - B(x) - C(x) $: $ N(x) = A(x) - [B(x) + C(x)] $, $ N(x) = (-8x^4 + 2x^3 + 5x^2) - [(10x^4 + 2x^2 - 7x) + (x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 3x - 6)] $, Sau khi trừ hợp lý, ta được: $ N(x) = (-8x^4 - 10x^4 - x^4) + (2x^3 - 2x^3) + (5x^2 - 2x^2 - 5x^2) + (0 + 7x - 3x) + 6 $, $ N(x) = -19x^4 - 3x + 6 $. **Bài 14:** a) Ta cần tìm thương $ Q(x) $ và số dư $ R(x) $ trong phép chia $ A(x) $ cho $ B(x) $. Ta có: $ A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) $ với $ R(x) $ có bậc nhỏ hơn bậc $ B(x) $, $ A(x) = 12x^4 + 10x^3 - x - 3 $, $ B(x) = 3x^2 + x + 1 $. Vì bậc của số dư $ R(x) $ phải nhỏ hơn 2 (bậc của $ B(x) $), nên $ R(x) $ có dạng là $ ax + b $. Ta sẽ thực hiện phép chia đa thức như phép chia số thông thường để tìm $ Q(x) $ và $ R(x) $. b) Ta cần tìm số m để đa thức $ 2x^4 - 9x^2 - 9x + m $ chia hết cho đa thức $ 3x - 1 $. Để $ 2x^4 - 9x^2 - 9x + m $ chia hết cho $ 3x - 1 $, thì khi thay $ x = \frac{1}{3} $ vào đa thức $ 2x^4 - 9x^2 - 9x + m $ phải cho kết quả là 0 (do $ 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} $). Ta thay $ x = \frac{1}{3} $ vào đa thức: $ 2\left(\frac{1}{3}\right)^4 - 9\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 9\left(\frac{1}{3}\right) + m = 0 $, Tính toán để tìm $ m $: $ \frac{2}{81} - \frac{9}{9} - \frac{9}{3} + m = 0 $, $ m = 1 + 3 - \frac{2}{81} $, $ m = 4 - \frac{2}{81} $. Làm tròn: $ m = \frac{324}{81} - \frac{2}{81} $, $ m = \frac{322}{81} $. Vậy $ m = \frac{322}{81} $ để đa thức $ 2x^4 - 9x^2 - 9x + m $ chia hết cho $ 3x - 1 $.

Solving Polynomial Division Problem

Để giải quyết bài toán trên hình ảnh, ta sẽ tiến hành nhân và chia các đa thức. Cụ thể, ta sẽ thực hiện phép tính cho phần e) như sau: e) $-10x^6 + 5x^4 - 3x^3) : 5x^3$ Đầu tiên, ta sẽ chia từng hạng tử của đa thức ở tử số cho đa thức ở mẫu số: \[-10x^6 : 5x^3 = -2x^{6-3} = -2x^3\] \[5x^4 : 5x^3 = x^{4-3} = x^1 = x\] \[-3x^3 : 5x^3 = -\frac{3}{5}x^{3-3} = -\frac{3}{5} \cdot x^0 = -\frac{3}{5}\] Kết quả sẽ là tổng của tất cả các phần trên: $-2x^3 + x - \frac{3}{5}$ Như vậy, phần e) của bài toán đã giải xong.