Question - Simplifying a Complex Fraction with Polynomials

Первый шаг - упростить числитель и знаменатель дроби, если это возможно.

\[ \frac{{x^5 - 5x^2 + 8x + 4}}{{x^3 - x^2}} + \frac{{x + 2}}{{x^2}} \]

Знаменатель первой дроби можно упростить, вынеся x^2:

\[ x^2 \left( \frac{{x^3 - 5x + 8}}{{x}} + 4 \right) \]

Знаменатель первой дроби теперь \( x \), а второй \( x^2 \).

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю \( x^2 \):

\[ \frac{{x(x^3 - 5x + 8) + 4x^2}}{{x^2}} + \frac{{x + 2}}{{x^2}} \]

Теперь складываем числители двух дробей:

\[ \frac{{x^4 - 5x^2 + 8x + 4x^2 + x + 2}}{{x^2}} \]

Упрощаем выражение в числителе:

\[ \frac{{x^4 - x^2 + 8x + 2}}{{x^2}} \]

Финальный шаг – разделить каждый член в числителе на \( x^2 \):

\[ x^2 - 1 + 8 \cdot \frac{x}{{x^2}} + \frac{2}{{x^2}} \]

Результат:

\[ x^2 - 1 + \frac{8}{x} + \frac{2}{{x^2}} \]