Example Question - mathematical problem solving
Here are examples of questions we've helped users solve.
Step-by-Step Math Problem Solution
Давайте решим эту математическую задачу пошагово: Сначала сложим дроби в скобках: \[ \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \right) \] Чтобы сложить эти дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 3 и 6 равно 6. Для первой дроби умножим числитель и знаменатель на 2: \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{4}{6} \] Теперь у нас есть общий знаменатель, и мы можем сложить дроби: \[ \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] Таким образом, выражение в скобках равно \(\frac{5}{6}\). Теперь умножим это на \(\frac{24}{2^3}\): \[ \frac{5}{6} \cdot \frac{24}{2^3} \] Поскольку \(2^3 = 8\), у нас получается: \[ \frac{5}{6} \cdot \frac{24}{8} \] Упростим дробь \(\frac{24}{8}\), разделив числитель и знаменатель на 8: \[ \frac{24}{8} = 3 \] Теперь умножим \(\frac{5}{6}\) на 3: \[ \frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{1} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 1} = \frac{15}{6} \] Заметим, что результат также можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, который равен 3: \[ \frac{15}{6} = \frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2} \] Итак, окончательный ответ: \[ \frac{5}{2} \text{ или } 2 \frac{1}{2} \]
Mathematical Problem Solving
Dưới đây là cách giải cho hai bài toán trong hình: 1. 30000 x 2.3: Đầu tiên, bạn nhân số nguyên 30000 với 2, sau đó nhân kết quả với 3 và chia cho 10 (vì 2.3 là 2 + 0.3, hoặc 2 + 3/10). 30000 x 2 = 60000 60000 x 3 = 180000 180000 / 10 = 18000 Vậy 30000 x 2.3 = 18000 2. 40000 : 5.2: Khi chia 40000 cho 5.2, bạn có thể chia cho 52 rồi chia kết quả cho 10 (vì 5.2 là 52 chia cho 10). 40000 / 52 = 769.23 (làm tròn đến hai chữ số thập phân) 769.23 / 10 = 76.923 (làm tròn đến ba chữ số thập phân) Vậy 40000 : 5.2 = 76.923 (hoặc làm tròn đến 76.92 nếu chỉ giữ hai chữ số thập phân).
Mathematical Problem Solving
Đầu tiên, chúng ta sẽ giải bài toán thứ nhất: 30000 nhân với 2, chia cho 3. Để thực hiện phép tính này, chúng ta có thể nhân 30000 với 2 trước, rồi sau đó sẽ chia kết quả cho 3. 30000 x 2 = 60000 Tiếp theo chia tổng vừa nhân được cho 3. 60000 ÷ 3 = 20000 Vậy, 30000 nhân với 2, chia cho 3 bằng 20000. Sau đó, chúng ta tiếp tục giải bài toán thứ hai: 40000 chia cho 5, rồi chia tiếp cho 2. Để giải phép toán này, chúng ta chia 40000 cho 5 trước, sau đó kết quả lại tiếp tục chia cho 2. 40000 ÷ 5 = 8000 Sau đó chia kết quả vừa tìm được cho 2. 8000 ÷ 2 = 4000 Vậy, 40000 chia cho 5, rồi chia tiếp cho 2 bằng 4000.
Solving a Candy Problem with Equations
Dựa vào đề bài, ta có thể lập phương trình như sau để giải bài toán: Gọi số lượng kẹo màu xanh mà An đã mua là x (chiếc), số lượng kẹo màu đỏ là y (chiếc). Theo đề bài, mỗi chiếc kẹo màu xanh nặng 3g và mỗi chiếc kẹo màu đỏ nặng 5g. Tổng số lượng kẹo màu xanh và kẹo màu đỏ đều có trọng lượng là 500g, với tổng số lượng kẹo là 140 chiếc, nên ta có hệ phương trình sau: 1) \( 3x + 5y = 500 \) (tổng trọng lượng của x kẹo xanh và y kẹo đỏ là 500g) 2) \( x + y = 140 \) (tổng số lượng kẹo là 140 chiếc) Bây giờ ta có thể giải hệ phương trình này: Nhân phương trình (2) với 3 ta được: 3) \( 3x + 3y = 420 \) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (3), ta có: \( (3x + 5y) - (3x + 3y) = 500 - 420 \) \( 2y = 80 \) \( y = 40 \) Thay \( y = 40 \) vào phương trình (2), ta tìm được x: \( x + 40 = 140 \) \( x = 100 \) Vậy An đã mua 100 chiếc kẹo màu xanh và 40 chiếc kẹo màu đỏ.
Solving a Mathematical Problem with Given Conditions
Para resolver el problema que se presenta en la imagen, debemos utilizar la información que se nos da: Un número positivo es 3/5 del otro número y el otro producto de ambos números es 2160. Establezcamos dos variables, x e y, para representar a los dos números. Según la descripción, podemos formular las siguientes ecuaciones: 1. \(x = \frac{3}{5}y\) (dado que un número es 3/5 del otro) 2. \(xy = 2160\) (dado que el producto de ambos números es 2160) A continuación, reemplazaremos x de la primera ecuación en la segunda para poder resolver para y. Si \(x = \frac{3}{5}y\), entonces sustituimos en la segunda ecuación: \(\frac{3}{5}y \cdot y = 2160\) Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 5/3 para despejar y^2: \(y^2 = \frac{2160 \cdot 5}{3}\) \(y^2 = 2160 \cdot \frac{5}{3}\) \(y^2 = 720 \cdot 5\) \(y^2 = 3600\) Ahora, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para resolver para y: \(y = \sqrt{3600}\) \(y = 60\) Ahora que tenemos el valor de y, podemos encontrar el valor de x utilizando la primera ecuación: \(x = \frac{3}{5} \cdot 60\) \(x = 3 \cdot 12\) \(x = 36\) Entonces, los dos números son 36 y 60. Estos son los dos números positivos que cumplen con las condiciones dadas: uno es 3/5 del otro, y su producto es 2160.
Mathematical Problem Solving with Lemonade Purchase
Auf der Abbildung sehen wir eine mathematische Aufgabe, bei der Kinder ausrechnen, wie viele Dosen Limonade sie kaufen können. Das Sonderangebot lautet: eine Dose für 1 Euro. Die Rechnungen sind wie folgt dargestellt: - 6 + 18 = 24 - 6 x 20 = 120 - 6 x 10 = 60 - 8 + 12 = 20 Nun sollen wir zunächst die Rechnungen ordnen. Es scheint, dass die Kinder versuchen, auf verschiedene Arten die Kosten für die Limonaden zu berechnen, um herauszufinden, wie viele Dosen sie mit ihrem Geld kaufen können. Die Kinder scheinen insgesamt 24 Euro zu haben, was aus der Addition von 6 und 18 ersichtlich wird. Mit diesem Geld könnten sie bei einem Preis von 1 Euro pro Dose 24 Dosen kaufen. Die Multiplikationen 6 x 20 und 6 x 10 könnten bedeuten, dass sie verschiedene Preisoptionen berechnen oder mit größeren Zahlen Experimente durchführen, aber diese Rechnungen sind nicht direkt relevant für die Frage, wie viele Dosen sie kaufen können, wenn jede Dose 1 Euro kostet. Die Addition von 8 und 12 ergibt 20, was darauf hinweist, dass möglicherweise ein anderes Gruppe von Kindern versucht, herauszufinden, wie viele Dosen sie kaufen können, wenn sie 20 Euro zusammen haben. Die korrekte Rechnung, um zu bestimmen, wie viele Dosen sie bei einem Preis von 1 Euro pro Dose kaufen können, wäre einfach die Menge des vorhandenen Geldes (24 bzw. 20 Euro) zu nehmen: - Für 24 Euro können sie 24 Dosen kaufen, da 24 : 1 = 24. - Für 20 Euro können sie 20 Dosen kaufen, da 20 : 1 = 20. Zusammenfassend ist die Addition 6 + 18 = 24 relevant, um zu bestimmen, wie viele Dosen sie mit 24 Euro kaufen können. Die Addition 8 + 12 = 20 ist ebenfalls relevant für eine andere Gruppe von Kindern, die herausfinden möchten, wie viele Dosen sie mit 20 Euro kaufen können. Die anderen Multiplikationen sind in diesem Kontext nicht notwendig, um die anfängliche Frage zu beantworten.
Mathematical Problem Solving: Number Patterns and Counting Strategies
Um die Frage aus dem Bild zu beantworten, werde ich zunächst den Text übersetzen und dann die Aufgabe lösen. Aufgabe 1: Zahlen erforschen a) Auf wie viele verschiedene Arten lässt sich die Zahl 78 als Treppenzahl (Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen) darstellen? Begründen Sie. b) Notieren Sie zwei mögliche Darstellungen. Aufgabe 2: Systematisch zählen und Zahlenfolgen Die unten abgebildete Figur wurde mit Streichhölzern gelegt. Erläutern Sie eine Zählstrategie (+1+1+1 zählt nicht), indem Sie einen passenden Term aufschreiben, aus dem die Strategie ersichtlich wird. Färben Sie die Figur entsprechend Ihrer Zählweise. Erklären Sie Ihre Überlegungen. Lösung zu Aufgabe 1: a) Um zu bestimmen, wie viele verschiedene Arten es gibt, die Zahl 78 als Treppenzahl darzustellen, müssen wir nach aufeinanderfolgenden Zahlenfolgen suchen, deren Summe 78 ergibt. Eine Technik, dies zu tun, besteht darin, nach Faktoren von 78 zu suchen, die in einer ungeraden Anzahl von Termen mittig stehen können. Da 78 = 2 * 3 * 13 ist, können wir Faktoren wie 3, 13 oder das Produkt dieser beiden für die mittlere Zahl verwenden. Die Zahlenfolgen können kurz (viele Terme) oder lang (wenige Terme) sein. Letztlich muss man systematisch verschiedene Zahlenfolgen ausprobieren, um alle Möglichkeiten zu finden. b) Hier sind zwei mögliche Darstellungen: - 78 = 39 + 39 (Die einfachste Darstellung mit nur zwei aufeinanderfolgenden Zahlen) - 78 = 19 + 20 + 21 + 18 (Hier ist eine Darstellung mit vier aufeinanderfolgenden Zahlen) Lösung zu Aufgabe 2: Die Figur besteht aus einzelnen Quadraten, die durch Streichhölzer gebildet werden. Eine mögliche Zählstrategie ist die Anzahl der Streichhölzer für jedes Quadrat zu zählen und dann die Gesamtanzahl der Streichhölzer zu ermitteln. Wenn man davon ausgeht, dass jedes Quadrat auf der linken und unteren Seite jeweils ein Streichholz gemeinsam nutzt, dann hat das erste Quadrat 4 Streichhölzer, und jedes weitere angrenzende Quadrat fügt der Gesamtzahl 3 Streichhölzer hinzu (aufgrund der gemeinsamen Seiten). Die Figur besteht aus drei Quadraten, daher wäre der Term zur Berechnung der Anzahl der Streichhölzer 4 + 3(n-1), wobei n die Anzahl der Quadrate ist. Für die abgebildete Figur mit drei Quadraten wäre die Gesamtzahl der Streichhölzer also 4 + 3(3-1) = 4 + 3(2) = 4 + 6 = 10. Bitte beachten Sie, dass ich die Figur nicht einfärben kann, da meine Fähigkeiten zum Bearbeiten oder Einfärben von Bildern begrenzt sind. Die Erklärung sollte aber dabei helfen, zu verstehen, wie man vorgehen würde.
Analyzing Different Strategies for Solving Mathematical Problems
In dem Bild sind die Vorgehensweisen von verschiedenen Kindern dargestellt, um eine mathematische Aufgabe zu lösen, bei der es darum geht, zu einer gegebenen Zahl die passenden Zahlenpaare zu finden, die zusammen diese Zahl ergeben. Es scheint um das Finden von Zahlpaaren zu gehen, deren Summe entweder 50 oder 100 ergibt. Ohne die exakte Fragestellung zu kennen, scheint es, dass die Kinder unterschiedliche Strategien anwenden - manche probieren einfach Zahlen aus ("Versuch-Irrtum"-Denken), während andere systematischer vorgehen (strategisches Vorgehen). Ich werde eine Bewertung für zwei Kinder durchführen, um zu illustrieren, wie man dies tun könnte: Christina: Sie setzt anscheinend bei der Suche nach Paaren, die 100 ergeben, auf den systematischen Ansatz, indem sie mit 1 beginnt und dann schrittweise die zweite Zahl erhöht, während sie die erste Zahl verringert (99+1, dann 98+2, und so weiter). Dies zeigt ein Verständnis für die komplementären Beziehungen zwischen den Zahlen bis zu 50+50. Dieses systematische Vorgehen ermöglicht es ihr, keine Paare zu übersehen und verhindert Wiederholungen. Yasmin: Ihr Ansatz scheint weniger systematisch zu sein. Sie beginnt mit dem Zahlpaar 24+26, was möglicherweise spontan gewählt wurde, da es nicht dem Muster aufeinanderfolgender komplementärer Zahlen folgt. Danach wechselt sie zu 12+38 und einigen anderen Paaren, bevor sie wieder Zahlen aus der Nähe von 24+26 wählt. Hier sind die Sprünge zwischen den gewählten Zahlen größer und es ist kein klares Muster erkennbar. Dies könnte eher dem "Versuch-Irrtum"-Denken entsprechen, wobei sie Zahlen ausprobiert, anstatt einer bestimmten Systematik zu folgen. Um zu beurteilen, ob ein Kind eher einem "Versuch-Irrtum"-Denken oder einem strategischen Vorgehen folgt, würde man also schauen, ob es ein erkennbares Muster in der Auswahl und Abfolge der Zahlen gibt und ob Schritte unternommen werden, die sicherstellen, dass alle möglichen Zahlenpaare in Betracht gezogen werden.
Mathematical Problem Solving with Divisibility and Factors
Sicher, ich helfe Ihnen gerne bei der Lösung der Aufgaben im Bild. **Übung 9.2 a:** Eine Zahl soll die Zahlen 6, 12, 30 und 45 als Teiler haben. Gehören Sie ein solches an. Suchen Sie das kleinstmögliche a. (Tipp: Nutzen Sie die Primzahlfaktoren von 6, 12, usw.) Um eine Zahl zu finden, die alle diese Zahlen als Teiler hat, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen finden. Um das kgV zu bestimmen, teilen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren auf: - 6 = 2 * 3 - 12 = 2^2 * 3 - 30 = 2 * 3 * 5 - 45 = 3^2 * 5 Das kgV ist die Zahl, die jeden Primfaktor in der höchsten Potenz enthält, die in all diesen Zahlen vorkommt: - kgV(6, 12, 30, 45) = 2^2 * 3^2 * 5 = 4 * 9 * 5 = 36 * 5 = 180 Das kleinste a ist also 180. **Übung 9.2 b:** Finden Sie alle Zahlen, die genau 3 verschiedene Teiler haben. Wie sind Sie aufgebaut? Welche Zahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern? Eine Zahl mit genau drei verschiedenen Teilern muss eine Quadratzahl eines Primzahl sein. Das liegt daran, dass die Teiler 1, die Primzahl selbst und ihre Quadratzahl sein müssen. Zum Beispiel hat 4, das eine Quadratzahl von 2 ist, genau drei Teiler: 1, 2 und 4. Zahlen mit ungerader Anzahl von Teilern sind Quadratzahlen, da jede andere Zahl eine gerade Anzahl von Teilern hat. Das liegt daran, dass die Teiler in Paaren auftreten (zum Beispiel bei der Zahl 12 sind die Teilerpaare (1,12), (2,6) und (3,4)). **Übung 9.2 c:** Das Produkt dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist stets durch 6 teilbar. Was kann man über das Produkt von vier oder fünf aufeinanderfolgenden Zahlen sagen? Für drei aufeinanderfolgende Zahlen können wir sie als n, n+1 und n+2 bezeichnen, wobei n eine natürliche Zahl ist. Mindestens eine dieser Zahlen ist gerade und somit durch 2 teilbar, und mindestens eine der Zahlen ist durch 3 teilbar, da jede dritte Zahl ein Vielfaches von 3 ist. Daher ist das Produkt n*(n+1)*(n+2) durch 6 teilbar. Wenn wir das Produkt von vier aufeinanderfolgenden Zahlen betrachten, n*(n+1)*(n+2)*(n+3), dann ist dieses Produkt sicherlich auch durch 6 teilbar, da es das Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen enthält, welches, wie eben gezeigt, durch 6 teilbar ist. Zusätzlich haben wir hier ein weiteres Produkt mit einer aufeinanderfolgenden Zahl, wodurch das Produkt auch durch 4 und somit durch 24 teilbar ist (da 24 = 2*2*2*3 ist und wir bereits wissen, dass das Produkt durch 2 und 3 teilbar ist). Für fünf aufeinanderfolgende Zahlen n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4) ist das Produkt auch durch 6 teilbar, da die Teilbarkeit durch 6 bereits für drei Zahlen gilt. Zusätzlich, weil in einem Set von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen zumindest eine durch 5 teilbar ist, wissen wir, dass das Produkt von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen auch durch 5 teilbar ist. Daher ist das Produkt zusätzlich immer durch 30 teilbar. Ich hoffe das hilft Ihnen bei der Lösung der Übungen!
Mathematical Problem Solving in Different Number Systems
Selbstverständlich, ich werde Ihnen bei der Lösung der Mathematikaufgaben im Bild helfen. Im Bild gibt es zwei Aufgaben: 1. Lösen Sie die Aufgaben: (7₅ + 6₅), (10₅ + 10₅), (17₅ + 7₅), (7₅ ⋅ 5₅), (10₅ ⋅ 10₅). 2. Lösen Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Rechnen Sie im 8-er-System, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln. Formulieren Sie die Rechenschritte sprachlich. i. (352)₈ + (44)₈ ii. (456)₈ − (137)₈ iii. (14)₈ ⋅ (33)₈ iv. (714)₈ : (3)₈ Wir fangen mit der ersten Aufgabe an: a) (7₅ + 6₅): Da wir im 5er-System (Quinärsystem) rechnen, ist die größte Ziffer die 4. Sobald wir 5 erreichen, müssen wir einen Übertrag vornehmen. 7₅ + 6₅ = 13 im Dezimalsystem, aber im Quinärsystem müssen wir umwandeln: 13 (dezimal) = 2 * 5^1 + 3 * 5^0 = 23₅ Antwort: 7₅ + 6₅ = 23₅ b) (10₅ + 10₅): Im Quinärsystem entspricht 10₅ der Zahl 5 im Dezimalsystem. 5 (dezimal) + 5 (dezimal) = 10 (dezimal) = 20₅ Antwort: 10₅ + 10₅ = 20₅ c) (17₅ + 7₅): 17₅ entspricht im Dezimalsystem 1 * 5^1 + 7 * 5^0 = 5 + 7 = 12. 7₅ ist 7 im Dezimalsystem. 12 (dezimal) + 7 (dezimal) = 19 (dezimal) = 3 * 5^1 + 4 * 5^0 = 34₅ Antwort: 17₅ + 7₅ = 34₅ d) (7₅ ⋅ 5₅): Im Dezimalsystem haben wir 7 * 5 = 35, was wir wieder ins Quinärsystem umwandeln müssen: 35 (dezimal) = 1 * 5^2 + 3 * 5^1 + 0 * 5^0 = 130₅ Antwort: 7₅ ⋅ 5₅ = 130₅ e) (10₅ ⋅ 10₅): Im Dezimalsystem haben wir 5 * 5 = 25, was wir ins Quinärsystem umwandeln: 25 (dezimal) = 2 * 5^1 + 0 * 5^0 = 100₅ Antwort: 10₅ ⋅ 10₅ = 100₅ Weiter zur zweiten Aufgabe: i) (352)₈ + (44)₈: Beim Addieren im Oktalsystem ist zu beachten, dass die höchste Einzelziffer 7 ist und dass Überträge stattfinden, sobald eine Summe von 8 erreicht wird. 3 5 2 + 4 4 _______ 4 1 6 Antwort: (352)₈ + (44)₈ = (416)₈ ii) (456)₈ − (137)₈: Beim Subtrahieren im Oktalsystem müssen wir möglicherweise Ziffern ausleihen, wenn die obere Ziffer kleiner als die untere ist. 4 5 6 − 1 3 7 _________ 3 1 7 Antwort: (456)₈ − (137)₈ = (317)₈ iii) (14)₈ ⋅ (33)₈: Beim Multiplizieren im Oktalsystem multiplizieren wir jede Ziffer und addieren dann die Ergebnisse wie im Dezimalsystem, jedoch unter Beachtung des Oktalsystems. 1 4 × 3 3 _______ 3 4 2 (4×3) 4 2 (1×3, eins nach links verschoben) _________ 4 6 2 Antwort: (14)₈ ⋅ (33)₈ = (462)₈ iv) (714)₈ : (3)₈: Beim Dividieren im Oktalsystem teilen wir die Zahl wie im Dezimalsystem, allerdings mit Oktalzahlen. 7 1 4 : 3 = 2 3 4 (mit Rest 2) − 6 _____ 1 1 − 6 ______ 5 4 − 4 6 _______ 6 Antwort: (714)₈ : (3)₈ = (234)₈ Rest 2
Mathematical Problem Solving - Division with Fraction
Trong phép toán này, chúng ta có một phép chia không rõ số bị chia nhưng biết kết quả sau khi chia là \( \frac{5}{8} \) của số bị chia và bằng 320,000. Để giải bài toán này, chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ sau: Nếu \( \frac{5}{8} \) của số bị chia là 320,000, thì một phần tám của số bị chia sẽ là \( \frac{320,000}{5} \). \[ \frac{1}{8} \text{ của số bị chia} = \frac{320,000}{5} = 64,000 \] Khi có một phần tám của số bị chia, chúng ta chỉ cần nhân nó với 8 để tìm ra số bị chia: \[ \text{Số bị chia} = 64,000 \times 8 \] \[ \text{Số bị chia} = 512,000 \] Vậy số bị chia trong phép toán này là 512,000.
Math Problem Solution
To solve the mathematical problem in the image, we'll add up the numbers presented: 23 + 20 + 19 + 22 + 18 + 21 Let's do the addition step by step: 1. First, add the tens to make it easier: \( 20 + 20 + 10 + 20 + 10 + 20 = 100 \) 2. Now, add the leftover units: \( 3 + 9 + 2 + 8 + 1 = 23 \) 3. Add both results together: \( 100 + 23 = 123 \) The sum of the numbers is 123.
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