Question - Mathematical Problem Solving with Divisibility and Factors
Solution:
Sicher, ich helfe Ihnen gerne bei der Lösung der Aufgaben im Bild.**Übung 9.2 a:** Eine Zahl soll die Zahlen 6, 12, 30 und 45 als Teiler haben. Gehören Sie ein solches an. Suchen Sie das kleinstmögliche a. (Tipp: Nutzen Sie die Primzahlfaktoren von 6, 12, usw.)Um eine Zahl zu finden, die alle diese Zahlen als Teiler hat, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen finden. Um das kgV zu bestimmen, teilen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren auf:- 6 = 2 * 3- 12 = 2^2 * 3- 30 = 2 * 3 * 5- 45 = 3^2 * 5Das kgV ist die Zahl, die jeden Primfaktor in der höchsten Potenz enthält, die in all diesen Zahlen vorkommt:- kgV(6, 12, 30, 45) = 2^2 * 3^2 * 5 = 4 * 9 * 5 = 36 * 5 = 180Das kleinste a ist also 180.**Übung 9.2 b:** Finden Sie alle Zahlen, die genau 3 verschiedene Teiler haben. Wie sind Sie aufgebaut? Welche Zahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern?Eine Zahl mit genau drei verschiedenen Teilern muss eine Quadratzahl eines Primzahl sein. Das liegt daran, dass die Teiler 1, die Primzahl selbst und ihre Quadratzahl sein müssen. Zum Beispiel hat 4, das eine Quadratzahl von 2 ist, genau drei Teiler: 1, 2 und 4.Zahlen mit ungerader Anzahl von Teilern sind Quadratzahlen, da jede andere Zahl eine gerade Anzahl von Teilern hat. Das liegt daran, dass die Teiler in Paaren auftreten (zum Beispiel bei der Zahl 12 sind die Teilerpaare (1,12), (2,6) und (3,4)).**Übung 9.2 c:** Das Produkt dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist stets durch 6 teilbar. Was kann man über das Produkt von vier oder fünf aufeinanderfolgenden Zahlen sagen?Für drei aufeinanderfolgende Zahlen können wir sie als n, n+1 und n+2 bezeichnen, wobei n eine natürliche Zahl ist. Mindestens eine dieser Zahlen ist gerade und somit durch 2 teilbar, und mindestens eine der Zahlen ist durch 3 teilbar, da jede dritte Zahl ein Vielfaches von 3 ist. Daher ist das Produkt n*(n+1)*(n+2) durch 6 teilbar.Wenn wir das Produkt von vier aufeinanderfolgenden Zahlen betrachten, n*(n+1)*(n+2)*(n+3), dann ist dieses Produkt sicherlich auch durch 6 teilbar, da es das Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen enthält, welches, wie eben gezeigt, durch 6 teilbar ist. Zusätzlich haben wir hier ein weiteres Produkt mit einer aufeinanderfolgenden Zahl, wodurch das Produkt auch durch 4 und somit durch 24 teilbar ist (da 24 = 2*2*2*3 ist und wir bereits wissen, dass das Produkt durch 2 und 3 teilbar ist).Für fünf aufeinanderfolgende Zahlen n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4) ist das Produkt auch durch 6 teilbar, da die Teilbarkeit durch 6 bereits für drei Zahlen gilt. Zusätzlich, weil in einem Set von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen zumindest eine durch 5 teilbar ist, wissen wir, dass das Produkt von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen auch durch 5 teilbar ist. Daher ist das Produkt zusätzlich immer durch 30 teilbar.Ich hoffe das hilft Ihnen bei der Lösung der Übungen!
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