Example Question - limit
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Limit as x Approaches Infinity
\[ \begin{align*} 2 \cdot \lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{1}{2x} \right) &= 2 \cdot \lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \right) \\ &= 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} \right) \\ &= 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 0 \right) \\ &= 2 \cdot 0 \\ &= 0 \end{align*} \]
Analysis of a Limit as x Approaches Infinity
<p>\[ \lim_{{x \to +\infty}} \frac{2}{x} = \frac{2}{+\infty} \]</p> <p>\[ = 0 \]</p>
Evaluating the Limit of a Function as x Approaches Infinity
<p>La question demande d'évaluer la limite suivante :</p> <p>\[2 \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right)\]</p> <p>Pour résoudre cette limite, on suit les étapes suivantes :</p> <p>\[2 \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right) = 2 \cdot \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right)\]</p> <p>Étant donné que \(\frac{1}{2x}\) tend vers 0 lorsque \(x\) tend vers l'infini :</p> <p>\[\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2x} \right) = 0\]</p> <p>On obtient donc :</p> <p>\[2 \cdot 0 = 0\]</p> <p>La réponse est donc 0.</p>
Limit Calculation at Infinity
\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x + 1}}{{4x + 5}} = \frac{{\frac{{2x}}{{x}} + \frac{{1}}{{x}}}}{{\frac{{4x}}{{x}} + \frac{{5}}{{x}}}} \] \[ = \frac{{2 + \frac{{1}}{{x}}}}{{4 + \frac{{5}}{{x}}}} \] \[ = \frac{{2}}{{4}} \quad \text{quand } x \to \infty \] \[ = \frac{1}{2} \]
Evaluating the Limit of a Function as It Approaches a Point
<p>The expression given is the definition of the derivative of \(\sqrt{x}\) evaluated at \(x=8\), which can be calculated as follows:</p> <p>\(\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\) at \(x=8\)</p> <p>Let's apply the definition of the derivative for \(f(x) = \sqrt{x}\) at \(x = 8\):</p> <p>\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)</p> <p>\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\)</p> <p>To evaluate the limit, multiply the numerator and the denominator by the conjugate of the numerator:</p> <p>\(= \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)</p> <p>\(= \lim_{h \to 0} \frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)</p> <p>\(= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)</p> <p>\(= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\)</p> <p>Now plug in \(x = 8\):</p> <p>\(f'(8) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{8+h} + \sqrt{8}}\)</p> <p>\(= \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{8}}\)</p> <p>\(= \frac{1}{2\sqrt{8}}\)</p> <p>\(= \frac{1}{4\sqrt{2}}\)</p> <p>\(= \frac{\sqrt{2}}{8}\)</p> <p>Therefore, the limit and the derivative of \(\sqrt{x}\) at \(x = 8\) is \(\frac{\sqrt{2}}{8}\).</p>
Limit Calculation of a Rational Function
Para encontrar el límite cuando \( x \) se aproxima a 8 de la función dada, primero debemos simplificar la expresión algebraica. Esto se puede hacer factorizando tanto el numerador como el denominador. <p>Factorizamos el numerador:</p> \[ 3x^2 - 24x = 3x(x - 8) \] <p>Factorizamos el denominador (diferencia de cuadrados):</p> \[ x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8) \] <p>Dividimos el numerador y el denominador por la expresión común \( (x - 8) \):</p> \[ \frac{3x(x - 8)}{(x - 8)(x + 8)} = \frac{3x}{x + 8} \] <p>Tomamos el límite de la expresión simplificada como \( x \) se aproxima a 8:</p> \[ \lim_{x \to 8} \frac{3x}{x + 8} = \frac{3(8)}{8 + 8} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \] <p>Por lo tanto, el límite es \( \frac{3}{2} \).</p>
Calculating a Limit Involving a Rational Function
<p>Para resolver este límite, comenzaremos por evaluar la función en \( x = -1 \) para ver si el límite puede ser calculado directamente. Al reemplazar \( x \) por \( -1 \) en la función, obtenemos:</p> <p>\[ \frac{5(-1)^2 + 7(-1) + 2}{-1 + 1} = \frac{5 - 7 + 2}{0} = \frac{0}{0} \]</p> <p>El resultado \( \frac{0}{0} \) indica una indeterminación, lo cual significa que necesitamos aplicar otras técnicas para resolver el límite. Una técnica común es factorizar el numerador y el denominador, y luego simplificar. Sin embargo, en este caso, simplemente factorizando el numerador no es suficiente porque el denominador ya está simplificado y no tiene factores comunes con el numerador. Por lo tanto, debemos utilizar el teorema de L'Hôpital, que nos dice que si el límite de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) cuando \(x\) se acerca a un número es \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\), el límite puede ser el mismo que el límite de \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) siempre y cuando este último límite exista.</p> <p>Calculamos las derivadas del numerador y el denominador:</p> <p>\[ f'(x) = (5x^2 + 7x + 2)' = 10x + 7 \]</p> <p>\[ g'(x) = (x + 1)' = 1\]</p> <p>Ahora aplicamos L'Hôpital sustituyendo el numerador y el denominador por sus derivadas:</p> <p>\[ \lim_{{x \to -1}} \frac{5x^2 + 7x + 2}{x + 1} = \lim_{{x \to -1}} \frac{10x + 7}{1} \]</p> <p>\[ \lim_{{x \to -1}} (10x + 7) = 10(-1) + 7 = -10 + 7 = -3 \]</p> <p>Por lo tanto, el límite de la función cuando \( x \) se acerca a -1 es -3.</p>
Finding the Limit of a Rational Expression
<p>Para resolver el límite dado, sustituimos directamente el valor al cual tiende la variable:</p> <p>\[\lim_{{t \to 3}} \frac{{t - 2}}{{t + 5}} = \frac{{3 - 2}}{{3 + 5}}\]</p> <p>Realizamos las operaciones dentro del límite:</p> <p>\[\frac{{1}}{{8}}\]</p> <p>Por lo tanto, el resultado del límite es \(\frac{{1}}{{8}}\).</p>
Calculating the Limit of a Polynomial Function
<p>Para calcular el límite de la función polinómica cuando \( x \) tiende a 1, simplemente sustituimos el valor de \( x \) en la función, ya que es un polinomio y no presenta ninguna indeterminación en \( x = 1 \).</p> <p>\[ \lim_{{x \to 1}} (x^3 - 3x^2 - 2x + 1) = (1)^3 - 3(1)^2 - 2(1) + 1 \]</p> <p>\[ = 1 - 3 - 2 + 1 \]</p> <p>\[ = -3 \]</p> <p>Por lo tanto, el límite de la función polinómica cuando \( x \) tiende a 1 es \(-3\).</p>
Finding the Limit of a Linear Function as the Variable Approaches a Value
<p>\[ \lim_{{t \to 5}} (t^2 - 5) = \lim_{{t \to 5}} (t^2) - \lim_{{t \to 5}} (5) \]</p> <p>\[ = 5^2 - 5 = 25 - 5 = 20 \]</p>
Calculating the Limit of a Cubic Polynomial
<p>\lim_{{x \to -1}} (x^3 - 3x^2 - 2x + 1)</p> <p>\text{Para calcular el límite, sustituimos } x = -1 \text{ en la polinomio.}</p> <p>(-1)^3 - 3(-1)^2 - 2(-1) + 1</p> <p>= -1 - 3(1) + 2 + 1</p> <p>= -1 - 3 + 2 + 1</p> <p>= -1</p>
Limit of a Rational Function as Variable Approaches a Value
<p>Primero, factorizamos tanto el numerador como el denominador de la función racional:</p> <p>\[ \lim_{{x \to 7}} \frac{{x^2 - 5x - 14}}{{x^2 - 49}} \]</p> <p>Factorizamos el numerador como \((x - 7)(x + 2)\) y el denominador como \((x + 7)(x - 7)\).</p> <p>La expresión queda:</p> <p>\[ \lim_{{x \to 7}} \frac{{(x - 7)(x + 2)}}{{(x + 7)(x - 7)}} \]</p> <p>Podemos cancelar \((x - 7)\) en el numerador y el denominador ya que \(x\) no es 7 (estamos evaluando el límite cuando \(x\) tiende a 7):</p> <p>\[ \lim_{{x \to 7}} \frac{{x + 2}}{{x + 7}} \]</p> <p>Ahora sustituimos \(x = 7\) en la expresión simplificada para obtener el valor del límite:</p> <p>\[ \frac{{7 + 2}}{{7 + 7}} = \frac{{9}}{{14}} \]</p> <p>Así, la solución es \(\frac{{9}}{{14}}\).</p>
Calculating a Limit as x Approaches a Value
<p>\[ \lim_{{x \to 8}} \frac{{3x^2 - 24x}}{{x^2 - 64}} \]</p> <p>Primero, factorizamos el numerador y el denominador.</p> <p>\[ = \lim_{{x \to 8}} \frac{{3x(x - 8)}}{{(x + 8)(x - 8)}} \]</p> <p>Luego cancelamos los términos comunes \(x - 8\).</p> <p>\[ = \lim_{{x \to 8}} \frac{{3x}}{{x + 8}} \]</p> <p>Finalmente, sustituimos \(x = 8\) en la expresión simplificada.</p> <p>\[ = \frac{{3 \cdot 8}}{{8 + 8}} = \frac{{24}}{{16}} = \frac{{3}}{{2}} \]</p> <p>Por lo tanto, el límite es \(\frac{3}{2}\).</p>
Limit Calculation of a Rational Function as x Approaches a Specific Value
<p>Para resolver el límite, primero observamos la función racional y el valor al cual x se aproxima. Aquí, podemos aplicar la evaluación directa para resolver el límite:</p> <p>\[ \lim_{{x \to -1}} \frac{5x^2 + 7x + 2}{x + 1} \]</p> <p>Primero probamos sustituir el valor de x directamente en la función:</p> <p>\[ \frac{5(-1)^2 + 7(-1) + 2}{-1 + 1} \]</p> <p>\[ \frac{5(1) - 7 + 2}{0} \]</p> <p>\[ \frac{0}{0} \]</p> <p>Ya que obtenemos una forma indeterminada \(\frac{0}{0}\), necesitamos simplificar la función racional. Notamos que el numerador es un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar como \((5x+2)(x+1)\). La factorización nos da:</p> <p>\[ \frac{(5x+2)(x+1)}{x + 1} \]</p> <p>Podemos ahora simplificar la expresión cancelando el factor común \(x + 1\):</p> <p>\[ \frac{5x+2}{1} \]</p> <p>Ahora evaluamos el límite con x acercándose a -1:</p> <p>\[ \lim_{{x \to -1}} (5x+2) \]</p> <p>\[ 5(-1) + 2 \]</p> <p>\[ -5 + 2 \]</p> <p>\[ -3 \]</p> <p>Por lo tanto, el resultado del límite es -3.</p>
Determination of Interval of Convergence for Power Series Options
The image shows a question asking which of the provided power series has an interval of convergence of \(0 < x \leq 2\). We have four power series options (A, B, C, and D) to consider. To determine the interval of convergence, we usually use the ratio test. The ratio test tells us that a series ∑a_n converges if the limit as n goes to infinity of |a_{n+1} / a_n| is less than 1. Let's apply the ratio test to each option: Option A: The general term is \( a_n = (-1)^n (x - 1)^{n+1} / (n + 1) \). Using the ratio test, |a_{n+1} / a_n| = |(-1)^{n+1} (x - 1)^{n+2} / (n + 2)| * |(n + 1) / (-1)^n (x - 1)^{n+1}| = |(x - 1)^{n+2} / (n + 2)| * |(n + 1) / (x - 1)^{n+1}| = |(x - 1)| * |(n + 1) / (n + 2)| As n approaches infinity, |(n + 1) / (n + 2)| approaches 1, so we have |x - 1| < 1 for convergence. This results in an interval of convergence -1 < x - 1 < 1, which simplifies to 0 < x < 2. However, we need to check the endpoints separately to see if \(x = 2\) is included in the interval of convergence. If we substitute \(x = 2\) into the series, we get an alternating series \(∑ (-1)^n / (n + 1)\) which converges by the alternating series test. Therefore, option A has an interval of convergence \(0 < x \leq 2\). Without testing the other options, we already know that option A is the correct answer to the question. This is because the question asked for the series that has an interval of convergence of \(0 < x \leq 2\). If you need to analyze the other options, please let me know, and I can perform a similar analysis on each of them.
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