Example Question - factoring
Here are examples of questions we've helped users solve.
Quadratic Equation Problem
<p>Para resolver la ecuación cuadrática \( x^2 + 3x - 80 = 0 \), primero buscamos dos números que multiplicados den -80 y sumados den 3. Los números que cumplen con esto son 10 y -8, ya que \( 10 \cdot (-8) = -80 \) y \( 10 + (-8) = 2 \).</p> <p>Entonces, expresamos la ecuación cuadrática como el producto de dos binomios:</p> <p>\[ (x + 10)(x - 8) = 0 \]</p> <p>Luego, igualamos cada binomio a cero y resolvemos para \( x \):</p> <p>\[ x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -10 \]</p> <p>\[ x - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 8 \]</p> <p>Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son \( x = -10 \) y \( x = 8 \).</p>
Simplification of a Rational Expression
<p>To simplify the given expression, he can factor the denominator and check if there are common factors between numerator and denominator that he can cancel out:</p> <p>The denominator is an expression that looks like the difference of squares, which can be factored as:</p> <p>\((2x-1)^2 - 3(x^2-1) = (2x-1)^2 - 3(x+1)(x-1)\)</p> <p>He should expand the squares and multiply out the terms to simplify:</p> <p>\((2x-1)^2 = (2x-1)(2x-1) = 4x^2 - 4x + 1\)</p> <p>\(3(x+1)(x-1) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3\)</p> <p>Subtracting the second expression from the first:</p> <p>\(4x^2 - 4x + 1 - (3x^2 - 3) = 4x^2 - 4x + 1 - 3x^2 + 3\)</p> <p>Simplifying:</p> <p>\(x^2 - 4x + 4\)</p> <p>He then recognizes this as a perfect square trinomial which can be factored as:</p> <p>\(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\)</p> <p>So the expression simplifies to:</p> <p>\(\frac{x}{(x-2)^2}\)</p> <p>He notes that there are no common factors to cancel out with the numerator, hence this is the simplified form of the given rational expression.</p>
Analyzing Student Solutions to a Quadratic Equation
<p>Maria:</p> <p>(x^2 + 5x + 6 = 5x + 15) \Rightarrow (x^2 + 5x - 5x + 6 - 15 = 0)</p> <p>(x^2 + 6 - 15 = 0) \Rightarrow (x^2 - 9 = 0)</p> <p>(x + 3)(x - 3) = 0</p> <p>x + 3 = 0 \quad o \quad x - 3 = 0</p> <p>x = -3 \quad o \quad x = 3</p> <p>Nelson:</p> <p>2(x + 3)^2 - 5(x + 3) + 3 = 0 \quad \text{(esto es incorrecto; debería ser $5(x + 3)$ en ambos lados, así que su solución es incorrecta.)}</p> <p>Óscar:</p> <p>(x + 2)x + 3x + 3 = 5 + x + 3) \Rightarrow (x^2 + 2x + 3x + 3 = 5 + x + 3)</p> <p>(x^2 + 5x + 3 = x + 8) \Rightarrow (x^2 + 5x - x + 3 - 8 = 0)</p> <p>(x^2 + 4x - 5 = 0)</p> <p>(x^2 + 5x - x - 5 = 0) \quad \text{(esto es incorrecto; el procedimiento de Óscar contiene un error.)}</p> <p>La única solución correcta dada es la de María que obtiene las raíces x = 3 y x = -3.</p>
Factoring Algebraic Expressions
<p>Phần lớn của bức ảnh bị cắt đi, tuy nhiên, dựa trên phần còn lại, ta thấy một bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp IPP. Ta sẽ giải phần b) như một ví dụ:</p> <p>\[ b) \quad 4x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 5x + 2x - 2 \]</p> <p>Đầu tiên, ta nhóm các hạng tử:</p> <p>\[ (4x^3 - 4x^2) + (4x^2 - 5x) + (2x - 2) \]</p> <p>Sau đó, ta phân tích từng nhóm:</p> <p>\[ = 4x^2(x - 1) + x(4x - 5) + 2(x - 1) \]</p> <p>Nhận thấy rằng cả ba nhóm đều có nhân tử chung là \((x - 1)\), ta tiếp tục nhóm hạng tử:</p> <p>\[ = (4x^2 + x + 2)(x - 1) \]</p> <p>Kết quả cuối cùng của việc phân tích đa thức thành nhân tử cho phần b) là:</p> <p>\[ 4x^3 - 4x^2 - 5x + 2 = (4x^2 + x + 2)(x - 1) \]</p>
Algebraic Expansion of Polynomial Expressions
Để giải quyết câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt sử dụng phương pháp nhấn mạnh và mở rộng để rút gọn mỗi biểu thức đa thức: <p>Câu 2:</p> <p>\[(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24\]</p> <p>\[= [(x^2+3x+2)(x^2+7x+12)] - 24\]</p> <p>\[= [x^4+7x^3+12x^2+3x^3+21x^2+6x+2x^2+14x+24] - 24\]</p> <p>\[= x^4+10x^3+35x^2+20x\]</p> <p>Câu 4:</p> <p>\[x^4 + x^2 + 4x^2 + 4x -12\]</p> <p>\[= x^4 + 5x^2 + 4x - 12\]</p> <p>Câu 6:</p> <p>\[(x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) + a^4\]</p> <p>\[= [(x^2+5ax+4a^2)(x^2+5ax+6a^2)] + a^4\]</p> <p>\[= [x^4+5ax^3+6a^2x^2+5ax^3+25a^2x^2+30a^3x+4a^2x^2+20a^3x+24a^4] + a^4\]</p> <p>\[= x^4+10ax^3+35a^2x^2+50a^3x+25a^4\]</p> <p>Câu 8:</p> <p>\[(x^4 + x^2)^2 + 3(x^2 + x) + 2\]</p> <p>\[= x^8 + 2x^6 + x^4 + 3x^2 + 3x + 2\]</p> <p>Câu 10:</p> <p>\[(x^4 + 2x^2)^2 + 9x^2 + 18x + 20\]</p> <p>\[= x^8 + 4x^6 + 4x^4 + 9x^2 + 18x + 20\]</p> <p>Câu 12:</p> <p>\[(x^2 + 2)(x^4 + 4)(x^6 + 6)(x^8 + 8) + 16\]</p> <p>\[= (x^12 + 2x^10 + 4x^8 + 8x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8) + 16\]</p> <p>\[= x^12 + 2x^10 + 4x^8 + 8x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 24\]</p>
Factoring Polynomial Expressions
Chúng ta hãy giải quyết bài toán số \( 2 \): <p>\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 \)</p> <p>Bước 1: Nhận ra \( (x+1)(x+4) \) và \( (x+2)(x+3) \) là hai cặp số hạng liền kề của một dãy số liên tiếp.</p> <p>\( (x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4 \)</p> <p>\( (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6 \)</p> <p>Bước 2: Nhân hai biểu thức trên.</p> <p>\( (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) \)</p> <p>Vì cách làm trên khá dài và phức tạp, ta thử nhận ra một mẫu số chuẩn hóa:</p> <p>Bước 3: Phát hiện \( (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) \) gần giống \( (x^2 + 5x + 5)^2 \), nhưng cần trừ đi \( 1 \).</p> <p>\( (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = (x^2 + 5x + 5)^2 - 1^2 \)</p> <p>Bước 4: Sử dụng công thức hiệu của hai bình phương.</p> <p>\( (x^2 + 5x + 5 + 1)(x^2 + 5x + 5 - 1) \)</p> <p>\( (x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x + 4) \)</p> <p>Bước 5: So sánh với biểu thức gốc và điều chỉnh để có 24 ở cuối.</p> <p>\( ((x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x + 4)) - 24 \)</p> <p>Bước 6: Đặt \( A = x^2 + 5x + 6 \) và \( B = x^2 + 5x + 4 \) để dễ quản lý.</p> <p>\( (AB) - 24 = (A - 2)(B + 2) \)</p> <p>Đây là kết quả sau khi đã nhân và thực hiện phép trừ.</p>
Polynomial Long Division Practice Problems
Chúng ta có thể thấy rằng các biểu thức đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần về số mũ của 'x'. Đề bài yêu cầu xác định cách biểu thức này có thể được viết hoặc rút gọn. Cách tiếp cận phổ biến là xem xét mỗi biểu thức và tìm cách chia đa thức hoặc rút gọn chúng. Để giải quyết vấn đề này, mỗi biểu thức sẽ được phân tích và rút gọn riêng lẻ. Tuy nhiên, bạn không cung cấp dữ liệu đầu vào cụ thể nên tôi sẽ đi qua mỗi biểu thức mà không cần giá trị cụ thể cho 'x': <p>2/ (x+1)(x-2)(x+3)(x+4) - 24 = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x - 6) - 24</p> <p>4/ (x^2 + x)^2 + 4x^2 + 4x - 12 = (x^4 + 2x^3 + 2x^2) + 4x^2 + 4x - 12</p> <p>6/ (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a^4 = (x^2 + 5ax + 4a^2)(x^2 + 5ax + 6a^2) + a^4</p> <p>8/ (x^2 + x)^2 + 3(x^2 + x) + 2 = (x^4 + 2x^3 + x^2) + 3x^2 + 3x + 2</p> <p>10/ (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) + 9x^2 + 18x + 20</p> <p>12/ (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 = (x^2 + 10x + 32)(x^2 + 10x + 48) + 16</p> Lưu ý rằng tôi đã mở rộng mỗi biểu thức để hiển thị các đa thức dưới dạng tổng của các biểu thức đơn giản hơn. Để hoàn tất việc rút gọn, cần phải thực hiện phép cộng, phép trừ và phép chia đa thức để thu gọn các biểu thức. Tuy nhiên, vì không có giá trị cụ thể cho 'x' hoặc 'a', tôi không thể cung cấp một câu trả lời hoàn chỉnh.
Solving Quadratic Equations
<p>Para resolver las ecuaciones cuadráticas se pueden utilizar distintos métodos como factorización, completar el cuadrado o la fórmula cuadrática. En este caso, aplicaremos la fórmula cuadrática \( x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \) para cada ecuación dado que no todos los términos son fácilmente factorizables.</p> <p>a) \( x^2 + 2x + 10 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = 2, c = 10:</p> <p>\( x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}}}{{2 \cdot 1}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{-36}}}}{{2}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-2 \pm 6i}}{2} \)</p> <p>\( x = -1 \pm 3i \)</p> <p>b) \( x^2 + 4x + 29 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = 4, c = 29:</p> <p>\( x = \frac{{-4 \pm \sqrt{{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}}}{{2 \cdot 1}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-4 \pm \sqrt{{-84}}}}{2} \)</p> <p>\( x = -2 \pm 2\sqrt{21}i \)</p> <p>c) \( x^2 - 6x + 13 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = -6, c = 13:</p> <p>\( x = \frac{{6 \pm \sqrt{{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}}}{{2 \cdot 1}} \)</p> <p>\( x = \frac{{6 \pm \sqrt{{36 - 52}}}}{2} \)</p> <p>\( x = \frac{{6 \pm \sqrt{{-16}}}}{2} \)</p> <p>\( x = 3 \pm 2i \)</p> <p>d) \( 2x^2 + 12x + 68 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 2, b = 12, c = 68:</p> <p>\( x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 68}}}}{{2 \cdot 2}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{144 - 544}}}}{4} \)</p> <p>\( x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{-400}}}}{4} \)</p> <p>\( x = -3 \pm 5i \)</p> <p>e) \( 23 + 6x + x^2 = 0 \) (Reordenamos la ecuación para que tenga la forma estándar)</p> <p>\( x^2 + 6x + 23 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = 6, c = 23:</p> <p>\( x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}}}{{2 \cdot 1}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{36 - 92}}}}{2} \)</p> <p>\( x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{-56}}}}{2} \)</p> <p>\( x = -3 \pm 2\sqrt{14}i \)</p>
Quadratic Equation Solution
\[ \begin{align*} 3x^2 + 5x - 2 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 2) &= 0 \\ \end{align*} \] \[ \begin{align*} 3x - 1 &= 0 \quad 或 \quad x + 2 = 0 \\ x &= \frac{1}{3} \quad 或 \quad x = -2 \\ \end{align*} \]
Solving Quadratic Equation with Rational Expressions
Để giải phương trình, đầu tiên ta cần quy đồng mẫu số của hai vế. Ta có: \[\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{3}{2x}\] Nhân cả hai vế với \(2x(x-1)(x-2)\) để loại bỏ mẫu số, ta được: \[2x(x-2) + 2x = 3(x-1)(x-2)\] Giờ sẽ mở rộng và thu gọn hai vế: \(2x^2 - 4x + 2x = 3(x^2 - 3x + 2)\) \(2x^2 - 2x = 3x^2 - 9x + 6\) Đưa tất cả các số hạng về một vế để thu được đa thức bậc hai: \(2x^2 - 3x^2 - 2x + 9x = 6\) \(-x^2 + 7x - 6 = 0\) Bây giờ ta sẽ giải phương trình bậc hai: \(x^2 - 7x + 6 = 0\) Ta có thể phân tích như sau: \((x - 1)(x - 6) = 0\) Ta có hai nghiệm: \(x - 1 = 0\) đưa ra \(x = 1\) (nhưng không chấp nhận vì nó làm cho mẫu số của một phần của phương trình gốc bằng 0) \(x - 6 = 0\) đưa ra \(x = 6\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 6\).
Solving Quadratic Equation by Factoring as Difference of Squares
The equation provided in the image is: \[100x^2 - 81 = 0\] This equation can be seen as a difference of squares, which takes the form \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\). Applying this to the given equation, we have: \[a^2 = (10x)^2\] \[b^2 = 81\] So the equation can be rewritten as: \[(10x)^2 - 9^2 = 0\] This further breaks down into: \[(10x + 9)(10x - 9) = 0\] Now, we solve each part of the equation separately to find the values of x: 1. \(10x + 9 = 0\) \[10x = -9\] \[x = -\frac{9}{10}\] 2. \(10x - 9 = 0\) \[10x = 9\] \[x = \frac{9}{10}\] Thus, the two solutions for \(x\) are \(-\frac{9}{10}\) and \(\frac{9}{10}\).
Solving a Cubic Equation by Factoring and Quadratic Formula
To solve the equation \(18x^3 + 12x^2 + 2x = 0\), you can start by factoring out the common factor, which is \(2x\): \(2x(9x^2 + 6x + 1) = 0\) Now, you have a product of two expressions that equals zero. According to the zero-product property, one or both of these expressions must equal zero for the equation to be true. We can set each expression equal to zero and solve for \(x\): 1. \(2x = 0\) gives us one solution: \(x = 0\) 2. \(9x^2 + 6x + 1 = 0\) is a quadratic equation. It doesn't factor nicely, so we can use the quadratic formula to find the solutions: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) where \(a = 9\), \(b = 6\), and \(c = 1\). Plugging in these values, we get: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}\) \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 36}}{18}\) \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{0}}{18}\) \(x = \frac{-6}{18}\) The discriminant (\(b^2 - 4ac\)) being zero indicates that there is only one real solution for this part of the equation, which is: \(x = \frac{-1}{3}\) So, the equation has the following solutions: \(x = 0\) and \(x = -\frac{1}{3}\)
Solving Quadratic Equation by Factoring
The equation given in the image you provided is: (4x + 1)(3x - 2) = 0 This equation is a quadratic equation in the form of a product of two binomials set equal to zero. To solve for x, we apply the zero-product property, which states that if the product of two factors is zero, then at least one of the factors must be zero. Therefore, we can set each factor equal to zero and solve for x: 4x + 1 = 0 3x - 2 = 0 Solving the first equation, 4x + 1 = 0 for x: 4x = -1 x = -1/4 Solving the second equation, 3x - 2 = 0 for x: 3x = 2 x = 2/3 So the solutions to the equation are x = -1/4 and x = 2/3.
Finding the Least Common Denominator (LCD) for Rational Equations
To find the least common denominator (LCD) for the given rational equation, we must first determine the denominators of each of the individual fractions in the equation and factor them if necessary. The denominators in the equation are: 1. \(x - 2\) 2. \(x^2 - x - 2\) 3. \(x + 1\) The second denominator \(x^2 - x - 2\) can be factored to identify its components. Factoring \(x^2 - x - 2\) we get: \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\) Now we have the fully factored denominators: 1. \(x - 2\) 2. \((x - 2)(x + 1)\) 3. \(x + 1\) The least common denominator (LCD) must contain all factors present in these individual denominators in such a way that each denominator divides the LCD without a remainder. In this case, since \((x - 2)(x + 1)\) already contains the other factors \((x - 2)\) and \((x + 1)\), it serves as the LCD. So the LCD for the given rational equation is: \((x - 2)(x + 1)\)
Solving a Quadratic Equation by Factoring
The expression in the image is a quadratic equation: \[ 3n^2 + 9n - 30 = 0 \] To solve this quadratic equation, we can first attempt to factor it if it is factorable. If it's not easily factorable, we would use the quadratic formula. Let's see if the equation is factorable by looking for two numbers that multiply to \(3 \times (-30) = -90\) and add up to \(9\). These two numbers are 15 and -6 because \(15 \times -6 = -90\) and \(15 + (-6) = 9\). We can then express \(9n\) as \(15n - 6n\), rewriting the equation as: \[ 3n^2 + 15n - 6n - 30 = 0 \] Then we group the terms: \[ (3n^2 + 15n) - (6n + 30) = 0 \] Factoring by grouping, we take out the greatest common factor from each group: \[ 3n(n + 5) - 6(n + 5) = 0 \] Now, since both terms have a common factor of \((n + 5)\), we factor it out: \[ (n + 5)(3n - 6) = 0 \] Setting each factor equal to zero gives us our potential solutions: \[ n + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad n = -5 \] \[ 3n - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3n = 6 \quad \Rightarrow \quad n = 2 \] Therefore, the solutions to the quadratic equation are \(n = -5\) and \(n = 2\).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com