Question - Factoring Polynomial Expressions

\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 \)

Bước 1: Nhận ra \( (x+1)(x+4) \) và \( (x+2)(x+3) \) là hai cặp số hạng liền kề của một dãy số liên tiếp.

\( (x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4 \)

\( (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6 \)

Bước 2: Nhân hai biểu thức trên.

\( (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) \)

Vì cách làm trên khá dài và phức tạp, ta thử nhận ra một mẫu số chuẩn hóa:

Bước 3: Phát hiện \( (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) \) gần giống \( (x^2 + 5x + 5)^2 \), nhưng cần trừ đi \( 1 \).

\( (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = (x^2 + 5x + 5)^2 - 1^2 \)

Bước 4: Sử dụng công thức hiệu của hai bình phương.

\( (x^2 + 5x + 5 + 1)(x^2 + 5x + 5 - 1) \)

\( (x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x + 4) \)

Bước 5: So sánh với biểu thức gốc và điều chỉnh để có 24 ở cuối.

\( ((x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x + 4)) - 24 \)

Bước 6: Đặt \( A = x^2 + 5x + 6 \) và \( B = x^2 + 5x + 4 \) để dễ quản lý.

\( (AB) - 24 = (A - 2)(B + 2) \)

Đây là kết quả sau khi đã nhân và thực hiện phép trừ.