Question - Solving Quadratic Equations

Para resolver las ecuaciones cuadráticas se pueden utilizar distintos métodos como factorización, completar el cuadrado o la fórmula cuadrática. En este caso, aplicaremos la fórmula cuadrática \( x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \) para cada ecuación dado que no todos los términos son fácilmente factorizables.

a) \( x^2 + 2x + 10 = 0 \)

Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = 2, c = 10:

\( x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}}}{{2 \cdot 1}} \)

\( x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{-36}}}}{{2}} \)

\( x = \frac{{-2 \pm 6i}}{2} \)

\( x = -1 \pm 3i \)

b) \( x^2 + 4x + 29 = 0 \)

Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = 4, c = 29:

\( x = \frac{{-4 \pm \sqrt{{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}}}{{2 \cdot 1}} \)

\( x = \frac{{-4 \pm \sqrt{{-84}}}}{2} \)

\( x = -2 \pm 2\sqrt{21}i \)

c) \( x^2 - 6x + 13 = 0 \)

Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = -6, c = 13:

\( x = \frac{{6 \pm \sqrt{{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}}}{{2 \cdot 1}} \)

\( x = \frac{{6 \pm \sqrt{{36 - 52}}}}{2} \)

\( x = \frac{{6 \pm \sqrt{{-16}}}}{2} \)

\( x = 3 \pm 2i \)

d) \( 2x^2 + 12x + 68 = 0 \)

Usamos la fórmula cuadrática donde a = 2, b = 12, c = 68:

\( x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 68}}}}{{2 \cdot 2}} \)

\( x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{144 - 544}}}}{4} \)

\( x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{-400}}}}{4} \)

\( x = -3 \pm 5i \)

e) \( 23 + 6x + x^2 = 0 \) (Reordenamos la ecuación para que tenga la forma estándar)

\( x^2 + 6x + 23 = 0 \)

Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = 6, c = 23:

\( x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}}}{{2 \cdot 1}} \)

\( x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{36 - 92}}}}{2} \)

\( x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{-56}}}}{2} \)

\( x = -3 \pm 2\sqrt{14}i \)