Example Question - common denominators
Here are examples of questions we've helped users solve.
Simplifying Complex Fractions
<p>Для первого задания:</p> <p>\[\frac{\frac{12}{19}}{\frac{7}{12} - \frac{4}{13} + \frac{13}{21}}\]</p> <p>Найдем общий знаменатель для выражения в знаменателе:</p> <p>\[Кратное(12, 13, 21) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 1092\]</p> <p>Перепишем выражение с общим знаменателем:</p> <p>\[\frac{\frac{12}{19}}{\frac{7 \cdot 91}{1092} - \frac{4 \cdot 84}{1092} + \frac{13 \cdot 52}{1092}}\]</p> <p>\[\frac{\frac{12}{19}}{\frac{637 - 336 + 676}{1092}}\]</p> <p>\[\frac{\frac{12}{19}}{\frac{977}{1092}}\]</p> <p>Выразим сложную дробь как деление:</p> <p>\[\frac{12}{19} \cdot \frac{1092}{977}\]</p> <p>Сократим дробь:</p> <p>\[\frac{12 \cdot 1092}{19 \cdot 977}\]</p> <p>Так как нет общих делителей между числителем и знаменателем, это конечный ответ.</p> <p>Для второго задания:</p> <p>\[\frac{\left(\frac{3}{7} - 2,\!8\right) \cdot \frac{5}{8}}{\frac{7}{23}}\]</p> <p>Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:</p> <p>\[2,\!8 = 2 + \frac{4}{5} = \frac{14}{5}\]</p> <p>Теперь вычтем эту дробь из \[\frac{3}{7}\]:</p> <p>\[\frac{3}{7} - \frac{14}{5} = \frac{3 \cdot 5}{35} - \frac{14 \cdot 7}{35}\]</p> <p>\[\frac{15 - 98}{35} = -\frac{83}{35}\]</p> <p>Теперь умножим результат на \[\frac{5}{8}\]:</p> <p>\[-\frac{83}{35} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{83 \cdot 5}{35 \cdot 8}\]</p> <p>Упростим дробь:</p> <p>\[-\frac{415}{280}\]</p> <p>Затем разделим на \[\frac{7}{23}\]:</p> <p>\[-\frac{415}{280} \cdot \frac{23}{7} = -\frac{415 \cdot 23}{280 \cdot 7}\]</p> <p>Сократим дробь где это возможно (обратите внимание на числа 280 и 7):</p> <p>\[-\frac{415 \cdot 23}{40 \cdot 1} = -\frac{9545}{40}\]</p> <p>\[-\frac{9545}{40} = -238,\!625\]</p> <p>Это конечный ответ второго выражения.</p>
Adding Fractions with Common Denominators
Para resolver esta suma de fracciones, debemos encontrar un denominador común para \(\frac{1}{4}\) y \(\frac{1}{6}\). El denominador común más pequeño que podemos utilizar es 12. Así que convertimos ambas fracciones para que tengan el mismo denominador: \[ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \] \[ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \] Ahora que ambas fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumarlas: \[ \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3 + 2}{12} = \frac{5}{12} \] Así que la suma de \(\frac{1}{4}\) y \(\frac{1}{6}\) es \(\frac{5}{12}\).
Adding and Subtracting Fractions
Vamos a resolver la suma de fracciones que se nos presenta: La operación original es: \[ -\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{1}{6}\right) \] Primero, nos enfocaremos en los signos de las fracciones. Cuando hay un signo negativo delante de una fracción, este signo se aplica al numerador de la fracción. Entonces la operación quedará de la siguiente manera: \[ -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6} \] Ahora, para sumar o restar fracciones, es necesario que todas tengan el mismo denominador común. En este caso, el denominador común más pequeño que podemos utilizar es 6, ya que es múltiplo de 2 y 3, los denominadores originales. Para convertir cada fracción a un denominador común, multiplicamos el numerador y el denominador de cada fracción por el número necesario para alcanzar 6 como denominador: \[ -\frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{2 \times 2}{3 \times 2} - \frac{1}{6} \] Esto nos da nuevas fracciones equivalentes: \[ -\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} \] Ahora sumamos y restamos los numeradores manteniendo el mismo denominador: \[ -\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{-3 + 4 - 1}{6} \] Simplificamos los numeradores: \[ \frac{-3 + 4 - 1}{6} = \frac{0}{6} \] Cualquier número dividido entre sí mismo es 1, y cualquier número (excepto cero) multiplicado por 0 es 0, por lo tanto: \[ \frac{0}{6} = 0 \] El resultado final de sumar y restar las fracciones dadas es 0.
Adding and Subtracting Fractions with Common Denominators
Claro, primero debemos entender que estamos sumando y restando fracciones, y para hacerlo correctamente necesitamos encontrar un denominador común para todas ellas. Para este conjunto de fracciones, el mínimo común denominador es 6. Vamos a convertir cada fracción a este denominador común y luego sumar o restar los numeradores correspondientes. La primera fracción es \( \frac{1}{2} \). Multiplicamos el numerador y el denominador por 3 para convertirlo a sextos: \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{6} \) La segunda fracción es \( \frac{2}{3} \). Multiplicamos el numerador y el denominador por 2 para convertirlo a sextos: \( \frac{2}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{4}{6} \) La tercera fracción es \( -\frac{1}{6} \) y ya está en sextos, así que no necesita ser cambiada. También, como hay un signo negativo adelante, al restar esta fracción en realidad estamos sumando su opuesto. Ahora sumamos o restamos los numeradores: \( \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 4 + 1}{6} = \frac{8}{6} \) La fracción resultante es \( \frac{8}{6} \), pero esta fracción se puede simplificar dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor que es 2: \( \frac{8}{6} \div \frac{2}{2} = \frac{4}{3} \) Por lo tanto, la respuesta simplificada es \( \frac{4}{3} \), o 1 y \( \frac{1}{3} \) en forma mixta.
Summation of Fractions without Common Denominators
Bài toán này yêu cầu chúng ta tính tổng của các phân số. Để thực hiện, ta cần quy đồng mẫu số, sau đó cộng các tử số lại với nhau. Tuy nhiên, đề bài cũng gợi ý rằng chúng ta nên tìm cách làm thuận tiện hơn, tức là không cần quy đồng mẫu số nếu có thể tìm ra một cách làm nhanh hơn. Nhìn vào các mẫu số, ta thấy rằng: - \( 4 = 2^2 \) - \( 14 = 2 \times 7 \) - \( 11 \) là số nguyên tố - \( 3 \) là số nguyên tố Tuy không có mẫu chung rõ ràng, nhóm đầu tiên của bài toán (2 phân số đầu) có mẫu số lần lượt là \( 4 \) và \( 14 \), có thể cộng trực tiếp được với nhau nếu nhân tử số và mẫu số của phân số đầu tiên cho \( 7 \) (do \( 14 = 4 \times 7 \)) và cộng với phân số thứ hai. Nhóm thứ hai (2 phân số cuối) cũng có thể thực hiện được phép cộng tương tự, bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số cuối cùng cho \( 11 \) (do \( 11 \) là mẫu số của phân số thứ ba). Thực hiện phép tính như sau: \[ \frac{1 \times 7}{4 \times 7} + \frac{8}{14} + \frac{7}{11} + \frac{5 \times 11}{3 \times 11} = \frac{7}{28} + \frac{8}{14} + \frac{7}{11} + \frac{55}{33} \] Giờ ta có thể cộng trực tiếp \( \frac{7}{28} \) và \( \frac{8}{14} \) vì \( 28 \) và \( 14 \) là bội số của \( 14 \), và cộng trực tiếp \( \frac{7}{11} \) và \( \frac{55}{33} \) vì \( 33 \) là bội số của \( 11 \). \[ \frac{7}{28} + \frac{8}{14} = \frac{1}{4} + \frac{4}{7} = \frac{1 \times 7 + 4 \times 4}{28} = \frac{23}{28} \] và \[ \frac{7}{11} + \frac{55}{33} = \frac{7}{11} + \frac{5}{3} = \frac{7 \times 3 + 5 \times 11}{33} = \frac{79}{33} \] Tổng cộng ta có: \[ \frac{23}{28} + \frac{79}{33} = \frac{23 \times 33 + 79 \times 28}{28 \times 33} = \frac{759 + 2212}{924} = \frac{2971}{924} \] Phân số cuối cùng này có thể rút gọn được nếu có ước chung, nhưng không cần thiết vì thông thường ta sẽ giữ nguyên kết quả khi đề bài yêu cầu tính "bằng cách thuận tiện" mà không yêu cầu rút gọn. Như vậy, kết quả của phép toán là \( \frac{2971}{924} \).
Fraction Addition and Subtraction with Common Denominators
Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các phép cộng và phép trừ với các phân số. Trước tiên, chúng ta cần đưa tất cả các phân số về cùng mẫu số chung nhất để có thể thực hiện các phép tính một cách dễ dàng. Mẫu số chung nhỏ nhất cho các phân số này là 200 (là bội số chung nhỏ nhất của 8, 25 và 5). Ta có thể biến đổi các phân số như sau: \( \frac{-3}{8} = \frac{-3 \times 25}{8 \times 25} = \frac{-75}{200} \) \( \frac{12}{25} = \frac{12 \times 8}{25 \times 8} = \frac{96}{200} \) \( \frac{5}{8} = \frac{5 \times 25}{8 \times 25} = \frac{125}{200} \) \( \frac{-2}{5} = \frac{-2 \times 40}{5 \times 40} = \frac{-80}{200} \) \( \frac{13}{25} = \frac{13 \times 8}{25 \times 8} = \frac{104}{200} \) Giờ đây chúng ta có thể thực hiện phép tính tổng cộng: \( \frac{-75}{200} + \frac{96}{200} + \frac{125}{200} + \frac{-80}{200} + \frac{104}{200} \) Cộng tất cả lại, ta được: \( \frac{-75 + 96 + 125 - 80 + 104}{200} = \frac{170}{200} \) Ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho 10 (đây là ước chung lớn nhất của cả tử số và mẫu số): \( \frac{170}{200} = \frac{17}{20} \) Vậy kết quả cuối cùng của phép tính là \( \frac{17}{20} \).
Fraction Subtraction with Common Denominators
Đầu tiên, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số cho hai phân số trong mỗi dấu ngoặc để có thể cộng hoặc trừ chúng. Trong dấu ngoặc đầu tiên, mẫu số chung nhỏ nhất của 4 và 5 là 20. Ta quy đồng mẫu số như sau: \[ \frac{3}{4} + \frac{-2}{5} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} + \frac{-2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{15}{20} + \frac{-8}{20} = \frac{15 - 8}{20} = \frac{7}{20} \] Trong dấu ngoặc thứ hai, mẫu số chung nhỏ nhất của 5 và 4 là 20. Ta quy đồng mẫu số như sau: \[ \frac{3}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} - \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{12}{20} - \frac{5}{20} = \frac{12 - 5}{20} = \frac{7}{20} \] Vậy bài toán trở thành: \[ \frac{7}{20} - \frac{7}{20} \] Khi trừ hai phân số có cùng mẫu số, ta chỉ cần trừ tử số và giữ nguyên mẫu số: \[ \frac{7}{20} - \frac{7}{20} = \frac{7 - 7}{20} = \frac{0}{20} = 0 \] Vậy đáp án của phép tính này là 0.
Clearing and Solving an Equation
The image depicts an equation that is written somewhat unclearly and upside down. Let me first interpret the equation correctly and then solve it for you. The equation appears to be: \[ \frac{x}{5} + \frac{x}{2} = \frac{7}{10} \] Let's solve it step by step: 1. Find a common denominator for the fractions on the left side of the equation. The least common denominator (LCD) for 5 and 2 is 10. 2. Convert each fraction to an equivalent fraction with the LCD as the denominator: \[ \frac{x}{5} = \frac{2x}{10} \] \[ \frac{x}{2} = \frac{5x}{10} \] The equation now looks like this: \[ \frac{2x}{10} + \frac{5x}{10} = \frac{7}{10} \] 3. Combine the fractions on the left side by adding their numerators: \[ \frac{2x + 5x}{10} = \frac{7}{10} \] Which simplifies to: \[ \frac{7x}{10} = \frac{7}{10} \] 4. Since the denominators are the same, we can set the numerators equal to each other: \[ 7x = 7 \] 5. Divide both sides by 7 to solve for x: \[ \frac{7x}{7} = \frac{7}{7} \] \[ x = 1 \] So the solution to the equation is \( x = 1 \).
Simplifying Algebraic Expression with Common Denominators
Para resolver la expresión dada en la imagen, primero simplificaremos los términos dentro de las fracciones y luego los combinaremos. La expresión es: \[ \frac{1}{10}m^3a - \frac{17}{60}m^2a^2 + \frac{3}{5}m^3 - \frac{7}{6}ma^3 - a^{4} \] Primero, necesitamos encontrar un común denominador para combinar los términos fraccionarios. El mínimo común denominador (m.c.m.) de 10, 60, 5, y 6 es 60. Ahora convertimos cada término a este denominador común: - \[ \frac{1}{10}m^3a = \frac{6}{60}m^3a \] - \[ \frac{17}{60}m^2a^2 \] ya tiene el común denominador, así que se queda igual. - \[ \frac{3}{5}m^3 = \frac{36}{60}m^3 \] - \[ \frac{7}{6}ma^3 = \frac{35}{60}ma^3 \] Ahora, la expresión con el común denominador es: \[ \frac{6}{60}m^3a - \frac{17}{60}m^2a^2 + \frac{36}{60}m^3 - \frac{35}{60}ma^3 - a^{4} \] Simplificamos combinando términos semejantes: \[ \frac{6m^3a - 17m^2a^2 + 36m^3 - 35ma^3}{60} - a^{4} \] Ya que todos los términos dentro de la fracción están divididos por 60, podemos escribir la expresión final como: \[ \frac{6m^3a + 36m^3 - 17m^2a^2 - 35ma^3}{60} - a^{4} \] Por último, para continuar simplificando, si es necesario, tendríamos que conocer el valor de las variables para resolver la expresión de manera numérica, o podemos dejar la expresión simbólica simplificada como está.
Solution to Subtracting Mixed Numbers
To solve the equation given in the image, we must subtract the two mixed numbers. The first mixed number is \(6 \frac{11}{12}\) and the second one is \(4 \frac{1}{3}\). Before we subtract, we should convert these mixed numbers into improper fractions: For \(6 \frac{11}{12}\): \(6 \times 12 = 72\), then add \(11\) for the numerator: \(72 + 11 = 83\). This gives us \( \frac{83}{12} \). For \(4 \frac{1}{3}\): \(4 \times 3 = 12\), then add \(1\) for the numerator: \(12 + 1 = 13\). This gives us \( \frac{13}{3} \). Now let's subtract \( \frac{83}{12} - \frac{13}{3}\). First, we need to find a common denominator. The lowest common denominator for \(12\) and \(3\) is \(12\). Convert \( \frac{13}{3} \) to have a denominator of \(12\): \( \frac{13}{3} \) can be changed by multiplying both the numerator and denominator by \(4\), because \(12\) is \(4\) times \(3\). So, \( \frac{13}{3} \) becomes \( \frac{13 \times 4}{3 \times 4} \), which is \( \frac{52}{12} \). Now we have: \( \frac{83}{12} - \frac{52}{12} = \frac{83 - 52}{12} = \frac{31}{12} \). This improper fraction can be converted back to a mixed number. \(31\) divided by \(12\) gives \(2\) with a remainder of \(7\), hence the mixed number is \(2 \frac{7}{12}\). So the answer to the subtraction is \(2 \frac{7}{12}\), which is the whole number 2 plus the fraction \( \frac{7}{12} \). Since the question seems to ask for a whole number, the answer is \(2\).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com