Example Question - calculating area
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating the Area of a Circular Fountain in a Square Park
- Let the side of the square park be \( s \). Then the diagonal of the square park is \( s\sqrt{2} \). - Given the diagonal \( s\sqrt{2} = 40 \) meters, we can find the side of the square park \( s \) by dividing the diagonal by \( \sqrt{2} \). - So, \( s = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \) meters. - The shortest distance from the edge of the fountain to each side of the park is 10 meters, which means the radius \( r \) of the circular fountain is \( r = \frac{s}{2} - 10 \). - We plug in \( s \) to get \( r = \frac{20\sqrt{2}}{2} - 10 = 10\sqrt{2} - 10 \). - The area \( A \) of the circular fountain is \( A = \pi r^2 \). - Substituting the value of \( r \) we found, \( A = \pi (10\sqrt{2} - 10)^2 \). - Expanding and applying the difference of squares formula yields \( A = \pi (200 - 200\sqrt{2} + 100) \). - The exact area of the fountain is \( A = 300\pi - 200\sqrt{2}\pi \). - The approximate value for \( \pi \) is 3.14159, and \( \sqrt{2} \) is approximately 1.41421. - Thus, we approximate \( A \) as \( A \approx 300(3.14159) - 200(1.41421)(3.14159) \). - Perform the calculations: \( A \approx 942.477 - 888.574 \). - \( A \approx 942.477 \) square meters. - None of the provided answer choices match the calculated area. There must be an error either in the provided answer choices or in the interpretation of the problem.
Calculating Area of a Square
To solve the problem stated in the image, you need to apply the formula given for the area \( A \) of a square, which is \( A = s^2 \), where \( s \) is the length of one side of the square. The image does not provide the specific value for the side length \( s \), so we can't calculate an exact numerical value for the area \( A \). However, if you know the side length of the square, you can simply plug that value into the formula. For example, if the side length \( s \) is 4 units, then the area \( A \) would be calculated as: \( A = s^2 = 4^2 = 16 \) square units. That's how you would find the area of the square once you have the length of its side. If you have the side length, you can replace it in the formula to find the area.
Calculating Area Between Two Linear Functions in an Image
Para resolver la pregunta asociada con esta imagen, necesitaríamos conocer la pregunta específica. La imagen muestra un sistema de coordenadas con dos funciones lineales, una de ellas es la función identidad f(x) = x, y la otra parece ser una función con pendiente negativa, posiblemente g(x) = -x o algo similar, aunque no se proporciona la ecuación exacta de esta función en la imagen. La región sombreada en la imagen es el área entre las dos rectas en el intervalo donde ambas se interceptan. Generalmente, se puede calcular esta área encontrando los puntos de intersección de las dos funciones y luego integrando la diferencia entre las dos funciones o usando la fórmula geométrica para el área de un triángulo, si esa forma es aplicable. Si la pregunta es calcular el área del área sombreada, necesitaríamos usar uno de los métodos mencionados. Sin embargo, no tengo suficiente información para proceder con un cálculo exacto, ya que la ecuación de la segunda línea no está definida y tampoco tengo la pregunta específica. Si está disponible, por favor proporcione la pregunta exacta o más información para que pueda ayudarle de manera precisa.
Calculating Area Between Linear Functions
La imagen muestra el gráfico de una función lineal \( f(x) = x \) y posiblemente otra función afín o lineal decreciente que no está claramente etiquetada. Hay un área sombreada que parece representar el área entre las dos funciones. Para encontrar el área de la región sombreada, necesitamos las ecuaciones de ambas rectas y los límites de integración (los valores de \( x \) donde las rectas se cruzan). Suponiendo que la otra recta es una función de la forma \( g(x) = ax + b \) y que se cruza con la recta \( f(x) = x \) en dos puntos que definen los límites de la región sombreada, la diferencia entre estas dos funciones nos dará la altura de la región en un punto \( x \) dado dentro de los límites. El área \( A \) entre las dos funciones en el intervalo \([x_1, x_2]\), donde \(x_1\) y \(x_2\) son los puntos de intersección, se calcularía como sigue: \[ A = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \, dx \] Para poder proceder con el cálculo, necesitaríamos conocer la ecuación exacta de la segunda recta y los puntos específicos de intersección. Si tienes más información sobre la ecuación de la otra recta o los puntos de intersección, por favor, proporciónala para que pueda ayudarte con un cálculo más específico.
Calculating Area of Colored Regions in Geometric Figures
Voy a calcular el área de la parte coloreada para cada una de las dos figuras mostradas. Para lograr esto, primero identificaré las formas y luego aplicaré las fórmulas correspondientes para el cálculo de áreas. Para la primera figura: Tenemos un círculo que ha sido dividido en 8 partes iguales y 4 de ellas están coloreadas. Primero calcularemos el área del círculo completo y luego tomaremos la mitad de esta área, que correspondería al área coloreada. La fórmula para calcular el área de un círculo es \( A = \pi r^2 \), donde \( r \) es el radio del círculo. El radio (r) del círculo es de 6 cm. Entonces, el área total del círculo sería: \[ A_{\text{círculo}} = \pi (6 \text{ cm})^2 = 36\pi \, \text{cm}^2 \] Ahora, como solo queremos la mitad del círculo (ya que la figura coloreada representa la mitad del círculo), dividimos el área total por 2: \[ A_{\text{coloreada}} = \frac{36\pi \, \text{cm}^2}{2} = 18\pi \, \text{cm}^2 \] Para la segunda figura: Tenemos un cuarto de círculo o un sector circular de 90 grados dentro de un cuadrado. Calcularemos el área del cuadrado y le restaremos el área del sector circular no coloreado para obtener el área coloreada. El lado del cuadrado es igual al diámetro del sector circular, que es de 10 cm. El área del cuadrado es \( A_{\text{cuadrado}} = \text{lado} \times \text{lado} \): \[ A_{\text{cuadrado}} = (10 \text{ cm})^2 = 100 \, \text{cm}^2 \] El área del círculo completo sería: \[ A_{\text{círculo}} = \pi r^2 = \pi (5 \text{ cm})^2 = 25\pi \, \text{cm}^2 \] La parte no coloreada representa 3/4 del círculo completo, por lo que calcularemos esta área y se la restaremos al área del cuadrado: \[ A_{\text{no coloreada}} = \frac{3}{4}A_{\text{círculo}} = \frac{3}{4} \times 25\pi \, \text{cm}^2 = \frac{75}{4}\pi \, \text{cm}^2 \] Restando obtenemos el área coloreada: \[ A_{\text{coloreada}} = A_{\text{cuadrado}} - A_{\text{no coloreada}} \] \[ A_{\text{coloreada}} = 100 \, \text{cm}^2 - \frac{75}{4}\pi \, \text{cm}^2 \] \[ A_{\text{coloreada}} = 100 \, \text{cm}^2 - 18.75\pi \, \text{cm}^2 \] Ya para sumar las áreas coloreadas de ambas figuras: \[ A_{\text{total coloreada}} = A_{\text{coloreada círculo}} + A_{\text{coloreada cuadrado}} \] \[ A_{\text{total coloreada}} = 18\pi \, \text{cm}^2 + (100 \, \text{cm}^2 - 18.75\pi \, \text{cm}^2) \] \[ A_{\text{total coloreada}} = 100 \, \text{cm}^2 + (18\pi - 18.75\pi) \, \text{cm}^2 \] \[ A_{\text{total coloreada}} = 100 \, \text{cm}^2 - 0.75\pi \, \text{cm}^2 \] Esto nos da el área total coloreada de ambas figuras. Para obtener un número exacto, tendrías que usar el valor de \( \pi \) que desees (por ejemplo, 3.1416) y realizar la resta final.
Calculating the Area of Colored Figures
Para resolver este problema, primero debemos calcular el área de las dos figuras y luego identificar la parte coloreada de cada una. Para la primera figura, que es un círculo dividido en ocho sectores iguales, y necesitamos encontrar el área de uno de esos sectores (la parte coloreada). El radio del círculo es la mitad del diámetro, es decir, 6 cm / 2 = 3 cm. La fórmula para calcular el área del círculo completo es \( \pi \times r^2 \), dónde \( r \) es el radio. Luego, dividimos esa área por 8 para obtener la de un sector: Área total del círculo = \( \pi \times r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \) cm² Área de un sector = \( \frac{9\pi}{8} \) cm² Para la segunda figura, que parece ser un cuarto de círculo, calculamos primero el área del círculo completo utilizando el radio (10 cm), y luego tomamos un cuarto de esa área. Pero dentro del cuarto de círculo hay una porción no coloreada que corresponde a un cuadrado que debemos sustraer. Área total del círculo del cual proviene el cuarto = \( \pi \times r^2 = \pi \times 10^2 = 100\pi \) cm² Área del cuarto de círculo = \( \frac{100\pi}{4} = 25\pi \) cm² Ahora, calculamos el área del cuadrado no coloreado usando el lado del cuadrado, que es igual al radio del cuarto de círculo: Área del cuadrado = lado² = 10 cm × 10 cm = 100 cm² Finalmente, el área coloreada del cuarto de círculo es: Área coloreada de la segunda figura = Área del cuarto de círculo - Área del cuadrado = \( 25\pi \) cm² - 100 cm² Sumamos las áreas coloreadas de ambas figuras para obtener el área total coloreada: Área total coloreada = Área de un sector de la primera figura + Área coloreada de la segunda figura Área total coloreada = \( \frac{9\pi}{8} \) cm² + ( \( 25\pi \) cm² - 100 cm² ) Simplificando y sumando las dos áreas obtenemos la respuesta final. No nos olvidemos de utilizar aproximaciones de π si es necesario (por ejemplo, 3.14159 o la aproximación que se prefiera).
Calculating Area of Composite Figure Using Rectangles
To find the area of the composite figure shown in the image, we can divide it into simpler shapes (such as rectangles) and then calculate the area of each before summing them up. From the image, it appears that we can divide the figure into two rectangles: 1. The larger rectangle on the left, which has a width of 3 cm (since the entire bottom length is 8 cm, and the length to the right is 5 cm, the difference is 8 cm - 5 cm = 3 cm) and a height of 6 cm. 2. The smaller rectangle on the right, which has a width of 5 cm and a height of 2 cm (since the entire length on the left is 6 cm, and the topmost length is 4 cm, the difference is 6 cm - 4 cm = 2 cm). Let's calculate their areas: For the larger rectangle: Area = width × height = 3 cm × 6 cm = 18 cm² For the smaller rectangle: Area = width × height = 5 cm × 2 cm = 10 cm² Now, we add the areas of the two rectangles together to get the total area of the figure: Total Area = Area of larger rectangle + Area of smaller rectangle Total Area = 18 cm² + 10 cm² = 28 cm² So, the area of the figure is 28 square centimeters.
Calculating Area of Composite Figure with Rectangles
To find the area of this composite figure, which is a combination of rectangles, we can approach it by breaking down the shape into simpler parts that we can easily calculate the area for and then combine them. From the image, we can see that there is a large rectangle on the right side of the figure with the dimensions of 5 cm by 8 cm. Next to it on the left, there is an upside-down "L" shaped figure which can be broken down into two smaller rectangles - one with the dimensions of 3 cm by 3 cm and the other 2 cm by 5 cm. Let's calculate the area for each part: 1. Large rectangle: 5 cm x 8 cm = 40 cm² 2. Small square (3 cm by 3 cm): 3 cm x 3 cm = 9 cm² 3. Small rectangle (2 cm by 5 cm): 2 cm x 5 cm = 10 cm² Now let's add up the areas of all parts: Total area = Large rectangle area + Small square area + Small rectangle area Total area = 40 cm² + 9 cm² + 10 cm² Total area = 59 cm² So, the area of the figure is 59 square centimeters.
Calculating Perimeter and Area of a Triangle
Para resolver este problema, primero hay que calcular el perímetro del triángulo. El perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados del triángulo. Según la imagen, las longitudes de los lados son: - \( AB = \frac{3}{4} \) pulgadas - \( BC = \frac{3}{8} \) pulgadas - \( AC = \frac{5}{8} \) pulgadas Sumamos las longitudes para obtener el perímetro: \( P = AB + BC + AC \) \( P = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{8} \) Para sumar las fracciones, necesitamos un denominador común, que en este caso es 8. Convertimos \( \frac{3}{4} \) a octavos multiplicando el numerador y el denominador por 2: \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8} \) Ahora podemos sumar todas las fracciones: \( P = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} + \frac{5}{8} \) \( P = \frac{6 + 3 + 5}{8} \) \( P = \frac{14}{8} \) Simplificamos la fracción dividiendo tanto el numerador como el denominador entre 2: \( P = \frac{14 ÷ 2}{8 ÷ 2} \) \( P = \frac{7}{4} \) pulgadas Así que el perímetro del triángulo es \( \frac{7}{4} \) pulgadas o 1 \( \frac{3}{4} \) pulgadas. Para encontrar el área, necesitamos la base y la altura del triángulo. En la imagen, \( AC \) es la base y \( AD \) es la altura. La fórmula para la área de un triángulo es: \( A = \frac{base \times altura}{2} \) La base \( AC = \frac{5}{8} \) pulgadas y la altura \( AD = 1 \) pulgada, entonces: \( A = \frac{\frac{5}{8} \times 1}{2} \) \( A = \frac{5}{8} \times \frac{1}{2} \) \( A = \frac{5}{16} \) pulgadas cuadradas Por lo tanto, el área del triángulo es \( \frac{5}{16} \) pulgadas cuadradas.
Calculating Perimeter and Area of a Triangle
Para resolver este problema, necesitas sumar las longitudes de los lados del triángulo para encontrar el perímetro y usar la fórmula del área de un triángulo para calcular el área. El perímetro (P) es simplemente la suma de las longitudes de los lados del triángulo: P = AB + BC + AC Mirando el triángulo en la imagen: AB = \( \frac{3}{4} \) pulg + \( \frac{3}{4} \) pulg = \( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \) = \( \frac{6}{4} \) = \( \frac{3}{2} \) pulg BC = \( \frac{3}{8} \) pulg + \( \frac{3}{8} \) pulg + \( \frac{3}{8} \) pulg + \( \frac{3}{8} \) pulg = \( \frac{12}{8} \) = \( \frac{3}{2} \) pulg AC = 5 pulg Sumando todas estas longitudes, el perímetro será: P = \( \frac{3}{2} \) pulg + \( \frac{3}{2} \) pulg + 5 pulg = 3 pulg + 5 pulg = 8 pulg El área (A) de un triángulo se puede calcular utilizando la fórmula: A = \( \frac{base * altura}{2} \) En este caso, la base es el lado AC y la altura es BD. Base AC = 5 pulg Altura BD = 1 pulg + \( \frac{1}{4} \) pulg = \( \frac{5}{4} \) pulg Calculamos el área: A = \( \frac{5 pulg * \frac{5}{4} pulg}{2} \) = \( \frac{25}{4} pulg^2 * \frac{1}{2} \) = \( \frac{25}{8} pulg^2 \) = 3.125 pulg^2 Por lo tanto, el perímetro del triángulo es 8 pulgadas y el área es 3.125 pulgadas cuadradas.
Calculating Perimeter and Area of a Triangle
Para resolver el problema, primero calcularemos el perímetro del triángulo ABC y luego calcularemos el área. El perímetro de un triángulo se calcula sumando la longitud de sus tres lados. Tenemos las longitudes de los lados AB, BC y AC: AB = \( \frac{5}{8} \) pulg + \( \frac{1}{2} \) pulg = \( \frac{5}{8} \) pulg + \( \frac{4}{8} \) pulg = \( \frac{9}{8} \) pulg BC = \( \frac{1}{4} \) pulg + \( \frac{3}{8} \) pulg = \( \frac{2}{8} \) pulg + \( \frac{3}{8} \) pulg = \( \frac{5}{8} \) pulg AC ya viene dado como 1 pulg. Así que el perímetro P será la suma de estas longitudes: P = AB + BC + AC = \( \frac{9}{8} \) pulg + \( \frac{5}{8} \) pulg + 1 pulg Para sumar las fracciones, convertimos 1 pulg en octavos, lo cual es \( \frac{8}{8} \) pulg: P = \( \frac{9}{8} \) pulg + \( \frac{5}{8} \) pulg + \( \frac{8}{8} \) pulg = \( \frac{22}{8} \) pulg = 2 \( \frac{6}{8} \) pulg = 2 \( \frac{3}{4} \) pulg (simplificando la fracción). Ahora calculamos el área A del triángulo, que es: A = \( \frac{1}{2} \) base * altura La base del triángulo es AC y la altura es BD. Base (AC) = 1 pulg Altura (BD) = \( \frac{5}{8} \) pulg Por lo tanto, el área A es: A = \( \frac{1}{2} \) * 1 pulg * \( \frac{5}{8} \) pulg = \( \frac{5}{16} \) pulg² Aplicando estas operaciones, hemos encontrado que el perímetro del triángulo es 2 \( \frac{3}{4} \) pulg y el área es \( \frac{5}{16} \) pulg².
Calculating Perimeter and Area of a Triangle
Para resolver este problema, primero debemos hallar las longitudes de los lados del triángulo y luego usar esas longitudes para calcular el perímetro y el área. El triángulo mostrado en la imagen tiene tres alturas dadas que se intersectan en el punto D. Podemos usar la suma de los segmentos de altura a lo largo de un lado para encontrar la longitud completa de ese lado. Como las longitudes de AD, DC, y DB son \( \frac{3}{4} \) pulgadas, \( \frac{1}{4} \) pulgadas, y \( \frac{3}{4} \) pulgadas respectivamente, podemos encontrar la longitud de los lados AB, BC, y AC de la siguiente manera: - AB = AD + DB = \( \frac{3}{4} \) pulg + \( \frac{3}{4} \) pulg = \( \frac{6}{4} \) pulg = \( 1 \frac{1}{2} \) pulgadas - BC = DC + DB = \( \frac{1}{4} \) pulg + \( \frac{3}{4} \) pulg = \( 1 \) pulgada Para encontrar la longitud AC, sumamos AD + DC: - AC = AD + DC = \( \frac{3}{4} \) pulg + \( \frac{1}{4} \) pulg = \( 1 \) pulgada Ahora podemos hallar el perímetro sumando las longitudes de los lados. Perímetro = AB + BC + AC = \( 1 \frac{1}{2} \) pulg + \( 1 \) pulg + \( 1 \) pulg = \( 3 \frac{1}{2} \) pulgadas La fórmula para la altura del triángulo nos indica que la altura es la distancia perpendicular desde la base al vértice opuesto. En este caso, BD es la altura y BC es la base para calcular el área de un triángulo: Área \( = \frac{Base \times Altura}{2} \) Reemplazamos con los valores que tenemos: Área \( = \frac{BC \times BD}{2} = \frac{1 \text{ pulg} \times \frac{3}{4} \text{ pulg}}{2} \) Simplificamos la expresión para encontrar el área: Área \( = \frac{1 \times \frac{3}{4}}{2} \) pulgadas cuadradas Área \( = \frac{3}{8} \) pulgadas cuadradas Entonces, el perímetro del triángulo es \( 3 \frac{1}{2} \) pulgadas y el área es \( \frac{3}{8} \) pulgadas cuadradas.
Calculating Area of Windmill Parts
Um den Flächeninhalt der gezeigten Windräder in Flächeneinheiten (FE) zu bestimmen, bemerken wir zuerst, dass jedes Windrad in einzelne kleinere Quadrate (bzw. Teile von Quadraten) und Dreiecke aufgeteilt werden kann. Wir zählen die vollständigen Quadrate und addieren die Teilflächen der Teilstücke, um auf den gesamten Flächeninhalt zu kommen. Für das obere linke Windrad: - Es gibt in diesem Windradteil keine vollständigen Quadrate. - Es gibt 12 offensichtliche Dreiecke, von denen jedes genau die Hälfte eines Quadrates ausmacht. Der Flächeninhalt beträgt daher 12 * 0,5 FE = 6 FE. Für das obere rechte Windrad: - Es gibt 8 Dreiecke, die jeweils die Hälfte eines Quadrates einnehmen. Der Flächeninhalt beträgt daher 8 * 0,5 FE = 4 FE. Für das untere linke Windrad: - Es gibt 4 kleine Dreiecke, jedes davon ein Viertel eines Quadrates. - Es gibt 4 größere Dreiecke, jedes davon nimmt genau die Hälfte eines Quadrates ein. Der Flächeninhalt beträgt daher 4 * 0,25 FE + 4 * 0,5 FE = 1 FE + 2 FE = 3 FE. Für das untere rechte Windrad (welches das komplexeste zu sein scheint): - Es gibt 4 kleinste Dreiecke, jedes davon ein Viertel eines Quadrates. - Es gibt 8 kleine Dreiecke, jedes davon die Hälfte eines Quadrates. Der Flächeninhalt beträgt daher 4 * 0,25 FE + 8 * 0,5 FE = 1 FE + 4 FE = 5 FE. Zusammengefasst: - Das obere linke Windrad hat einen Flächeninhalt von 6 FE. - Das obere rechte Windrad hat einen Flächeninhalt von 4 FE. - Das untere linke Windrad hat einen Flächeninhalt von 3 FE. - Das untere rechte Windrad hat einen Flächeninhalt von 5 FE.
Calculating Area of Irregular Figures by Dividing into Rectangles
To find the area of an irregular figure, one approach is to divide it into regular shapes, calculate the area of each shape, and then sum the areas. Starting with the first figure: 1) This figure can be seen as two rectangles. If we draw a line separating the two rectangles, we have: - Rectangle A with dimensions 18 cm by 6 cm. - Rectangle B with dimensions 12 cm by 6 cm (since 18 cm - 6 cm = 12 cm, the remaining height of the larger rectangle). We’ll find the areas of Rectangle A and Rectangle B separately: - Area of Rectangle A = length × width = 18 cm × 6 cm = 108 cm². - Area of Rectangle B = length × width = 12 cm × 6 cm = 72 cm². Now, add those two areas together to find the total area of the irregular figure: - Total area = Area of Rectangle A + Area of Rectangle B = 108 cm² + 72 cm² = 180 cm². So the area of the first irregular figure is 180 square centimeters. For the second figure: 1) This figure can also be seen as two rectangles, let's call them Rectangle C and Rectangle D. - Rectangle C with dimensions 15 m by 6 m. - Rectangle D with dimensions 20 m by 6 m (since 20 m - (15 m - 6 m) = 20 m - 9 m = 11 m the remaining height). The areas of Rectangle C and Rectangle D are calculated as follows: - Area of Rectangle C = length × width = 15 m × 6 m = 90 m². - Area of Rectangle D = length × width = 20 m × 6 m = 120 m². Sum both areas to get the total area of the irregular figure: - Total area = Area of Rectangle C + Area of Rectangle D = 90 m² + 120 m² = 210 m². Thus, the area of the second irregular figure is 210 square meters.
Calculating Area of a Rectangle with Given Dimensions
The image shows a worksheet with a rectangle that is divided into units to help calculate its area. The rectangle's dimensions are labeled in parts. One side is labeled as "2 units" and the other side is partially labeled with "2 units" plus an additional half unit (noted as "1/2 unit"). To find the missing information and calculate the area, we will add the lengths of the sides together. The length is 2 units plus an additional half unit, which gives us 2.5 units. The width, clearly given, is 2 units. Now that we have both dimensions of the rectangle, we can calculate the area by multiplying the length by the width. The length of Emma's rectangle is 2.5 units, and the width is 2 units. Area = length × width Area = 2.5 units × 2 units Area = 5 square units So, the area of Emma's rectangle is 5 square units.
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