Question - Calculating Area of Colored Regions in Geometric Figures
Solution:
Voy a calcular el área de la parte coloreada para cada una de las dos figuras mostradas. Para lograr esto, primero identificaré las formas y luego aplicaré las fórmulas correspondientes para el cálculo de áreas.Para la primera figura:Tenemos un círculo que ha sido dividido en 8 partes iguales y 4 de ellas están coloreadas. Primero calcularemos el área del círculo completo y luego tomaremos la mitad de esta área, que correspondería al área coloreada.La fórmula para calcular el área de un círculo es $$ A = \pi r^2 $$, donde $$ r $$ es el radio del círculo.El radio (r) del círculo es de 6 cm.Entonces, el área total del círculo sería:\[ A_{\text{círculo}} = \pi (6 \text{ cm})^2 = 36\pi \, \text{cm}^2 \]Ahora, como solo queremos la mitad del círculo (ya que la figura coloreada representa la mitad del círculo), dividimos el área total por 2:\[ A_{\text{coloreada}} = \frac{36\pi \, \text{cm}^2}{2} = 18\pi \, \text{cm}^2 \]Para la segunda figura:Tenemos un cuarto de círculo o un sector circular de 90 grados dentro de un cuadrado. Calcularemos el área del cuadrado y le restaremos el área del sector circular no coloreado para obtener el área coloreada.El lado del cuadrado es igual al diámetro del sector circular, que es de 10 cm.El área del cuadrado es $$ A_{\text{cuadrado}} = \text{lado} \times \text{lado} $$:\[ A_{\text{cuadrado}} = (10 \text{ cm})^2 = 100 \, \text{cm}^2 \]El área del círculo completo sería:\[ A_{\text{círculo}} = \pi r^2 = \pi (5 \text{ cm})^2 = 25\pi \, \text{cm}^2 \]La parte no coloreada representa 3/4 del círculo completo, por lo que calcularemos esta área y se la restaremos al área del cuadrado:\[ A_{\text{no coloreada}} = \frac{3}{4}A_{\text{círculo}} = \frac{3}{4} \times 25\pi \, \text{cm}^2 = \frac{75}{4}\pi \, \text{cm}^2 \]Restando obtenemos el área coloreada:\[ A_{\text{coloreada}} = A_{\text{cuadrado}} - A_{\text{no coloreada}} \]\[ A_{\text{coloreada}} = 100 \, \text{cm}^2 - \frac{75}{4}\pi \, \text{cm}^2 \]\[ A_{\text{coloreada}} = 100 \, \text{cm}^2 - 18.75\pi \, \text{cm}^2 \]Ya para sumar las áreas coloreadas de ambas figuras:\[ A_{\text{total coloreada}} = A_{\text{coloreada círculo}} + A_{\text{coloreada cuadrado}} \]\[ A_{\text{total coloreada}} = 18\pi \, \text{cm}^2 + (100 \, \text{cm}^2 - 18.75\pi \, \text{cm}^2) \]\[ A_{\text{total coloreada}} = 100 \, \text{cm}^2 + (18\pi - 18.75\pi) \, \text{cm}^2 \]\[ A_{\text{total coloreada}} = 100 \, \text{cm}^2 - 0.75\pi \, \text{cm}^2 \]Esto nos da el área total coloreada de ambas figuras. Para obtener un número exacto, tendrías que usar el valor de $$ \pi $$ que desees (por ejemplo, 3.1416) y realizar la resta final.
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