Example Question - volume calculation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculation of Surface Area and Volume of Cylinder
Para resolver este problema, necesitamos calcular primero el área de la superficie total (At) y luego el volumen (V) del cilindro. Primero, calculamos el área de la base del cilindro. La fórmula para el área de un círculo es \( A = \pi r^2 \), donde \( r \) es el radio del círculo. Dado que el diámetro del cilindro es de 15 cm, el radio será la mitad de eso, es decir, \( r = \frac{15}{2} = 7.5 \) cm. Entonces, el área de una de las bases circulares es: \( A_{base} = \pi (7.5)^2 = 56.25\pi \) Como hay dos bases en un cilindro, el área total de las dos bases será: \( A_{bases\_total} = 2 \times 56.25\pi = 112.5\pi \) Ahora, calculamos el área lateral del cilindro. La fórmula para el área lateral de un cilindro es \( A_{lateral} = 2\pi rh \), donde \( h \) es la altura del cilindro. La altura dada es de 30 cm, por lo que: \( A_{lateral} = 2\pi(7.5)(30) = 450\pi \) Sumando el área de las bases y el área lateral, obtenemos el área de la superficie total: \( At = A_{bases\_total} + A_{lateral} = 112.5\pi + 450\pi = 562.5\pi \) Para calcular el volumen de un cilindro usamos la fórmula \( V = \pi r^2h \). Reemplazamos \( r \) y \( h \) con los valores dados: \( V = \pi (7.5)^2(30) = 1687.5\pi \) Ahora, utilizamos una aproximación de \( \pi \) como 3.1416 para hallar los valores numéricos: \( At = 562.5\pi \approx 562.5 \times 3.1416 \) \( At \approx 1767.25 \) cm² \( V = 1687.5\pi \approx 1687.5 \times 3.1416 \) \( V \approx 5303.54 \) cm³ Notemos que en la imagen, las opciones son aproximaciones, y la aproximación para el área de la superficie total y el volumen difiere ligeramente de nuestros cálculos. Dicho esto, basados en nuestras cifras y las opciones proporcionadas, la opción más cercana a nuestros cálculos es la: D. \( At = 800 \) cm² y \( V = 3000 \) cm³ Sin embargo, este no es el resultado correcto según nuestros cálculos, parece haber un error, ya sea en las opciones proporcionadas o en la interpretación del volumen y el área de la superficie dado el valor de \( \pi \) que se utilice. Normalmente se usaría 3.1416 para \( \pi \), pero si se usa 3.14, incluso las aproximaciones podrían variar. Es importante comprobar estas aproximaciones con la precisión adecuada o proporcionar el resultado exacto en términos de \( \pi \).
Calculating Volume of Rectangular Prisms and Converting to Liters
Bien sûr, analysons chaque pavé droit. a) Pour le premier pavé droit, nous avons les mesures suivantes : 8 cm de longueur, 5 cm de largeur et 1,5 cm de hauteur. Pour trouver la quantité d'eau qu'il peut contenir, on doit calculer le volume du pavé droit, c'est-à-dire la longueur multipliée par la largeur multipliée par la hauteur. Voici le calcul : Volume = longueur × largeur × hauteur Volume = 8 cm × 5 cm × 1,5 cm Volume = 60 cm³ Puisque 1 cm³ équivaut à 1 mL, le pavé droit peut contenir environ 60 mL d'eau, puisqu'on nous demande d'arrondir au millilitre près. b) Pour le deuxième pavé droit, nous avons : 7 cm de longueur, 7 cm de largeur (c'est un pavé droit avec une section carrée) et 21 cm de hauteur. Calculons son volume : Volume = longueur × largeur × hauteur Volume = 7 cm × 7 cm × 21 cm Volume = 1029 cm³ De nouveau, comme 1 cm³ équivaut à 1 mL, ce pavé peut contenir environ 1029 mL d'eau, ce qui est équivalent à 1,029 litres d'eau, arrondi au millilitre près. Pour convertir les millilitres en litres, on divise par 1000 (car 1 litre = 1000 millilitres). Ainsi, pour a), on a 0,060 litres, et pour b), on a environ 1,029 litres.
Calculating Volume of Solid of Revolution using Disk Method
El problema pide calcular el volumen de un sólido de revolución generado al girar la función \( y = 3x^2 + 2x + 3 \) alrededor del eje x, desde \( x = 0.9 \) hasta \( x = 1.35 \). Para resolver este problema, podemos utilizar el método de los discos o el método del cilindro, en este caso, utilizaré el método de los discos. El método de los discos consiste en integrar el área de los discos perpendiculares al eje de revolución. La fórmula para el volumen de un disco es \( \pi r^2 \) donde \( r \) es la distancia desde el eje de revolución hasta el borde del disco. En este caso, la distancia es simplemente el valor de la función \( y \) para un valor dado de \( x \), es decir \( r = y = 3x^2 + 2x + 3 \). El volumen \( V \) del sólido de revolución será la integral definida de \( \pi y^2 \) de los límites de \( x \): \[ V = \pi \int_{0.9}^{1.35} (3x^2 + 2x + 3)^2 \,dx \] Empecemos integrando el cuadrado de la función paso a paso: \[ (3x^2 + 2x + 3)^2 = (3x^2 + 2x + 3)(3x^2 + 2x + 3) \] \[ = 9x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 6x^3 + 4x^2 + 6x + 9x^2 + 6x + 9 \] \[ = 9x^4 + 12x^3 + 22x^2 + 12x + 9 \] Ahora integramos término a término: \[ \int (9x^4 + 12x^3 + 22x^2 + 12x + 9) \,dx = \frac{9}{5}x^5 + 3x^4 + \frac{22}{3}x^3 + 6x^2 + 9x + C \] Ahora evaluamos la integral definida desde \( x = 0.9 \) hasta \( x = 1.35 \): \[ V = \pi \left[ \frac{9}{5}(1.35)^5 + 3(1.35)^4 + \frac{22}{3}(1.35)^3 + 6(1.35)^2 + 9(1.35) \right] - \pi \left[ \frac{9}{5}(0.9)^5 + 3(0.9)^4 + \frac{22}{3}(0.9)^3 + 6(0.9)^2 + 9(0.9) \right] \] Ahora puedes usar una calculadora para resolver esta evaluación y obtener el valor exacto del volumen. Recuerda incluir el factor \( \pi \) en cada término y realizar la operación entre paréntesis para ambos límites antes de restarlos.
Calculating Volumes using the Disk Method for Solid of Revolution
Para resolver este problema, utilizaremos el método de los discos para calcular el volumen de una figura de revolución. El segmento de recta dado por la ecuación \( y = 2x + 1 \) se gira alrededor del eje x para formar un volumen tridimensional, y queremos calcular el volumen de este sólido entre \( x = 1 \) y \( x = 5 \). La fórmula para el volumen \( V \) del sólido de revolución generado al girar una función \( y = f(x) \) alrededor del eje x, entre \( x = a \) y \( x = b \), es: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] Dado que \( f(x) = 2x + 1 \), la integral que necesitamos resolver es: \[ V = \pi \int_{1}^{5} (2x + 1)^2 dx \] Desarrollamos el cuadrado de la función dentro de la integral: \[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \] Ahora integramos término por término: \[ V = \pi \int_{1}^{5} (4x^2 + 4x + 1) dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x \right]_{1}^{5} \] Evaluamos la integral definida: \[ V = \pi \left( \left[ \frac{4(5^3)}{3} + 2(5^2) + 5 \right] - \left[ \frac{4(1^3)}{3} + 2(1^2) + 1 \right] \right) \] \[ V = \pi \left( \left[ \frac{4 \cdot 125}{3} + 50 + 5 \right] - \left[ \frac{4}{3} + 2 + 1 \right] \right) \] \[ V = \pi \left( \left[ \frac{500}{3} + 55 \right] - \left[ \frac{7}{3} \right] \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{500}{3} + 55 - \frac{7}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{500 + 165 - 7}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{658}{3} \right) \] Por lo tanto, el volumen del cono generado es: \[ V = \frac{658\pi}{3} \text{ unidades cúbicas} \]
Calculating Volume by Decomposing Solids into Prisms
Para resolver este problema, podemos descomponer el sólido en figuras más simples cuyos volúmenes podemos calcular por separado y luego sumarlos. Específicamente, podemos dividir el sólido en tres prismas rectangulares. Prisma 1 (base inferior): Tiene una base de 3,5 m x 2,5 m y una altura de 0,8 m. Volumen = base x altura Volumen = 3,5 m x 2,5 m x 0,8 m = 7 m² x 0,8 m = 5,6 m³ Prisma 2 (parte central): Tiene una base de 1,2 m x 1,5 m y una altura de 4,5 m - 2,5 m = 2 m (consideramos la altura total menos la altura del prisma 1). Volumen = base x altura Volumen = 1,2 m x 1,5 m x 2 m = 1,8 m² x 2 m = 3,6 m³ Prisma 3 (parte superior): Tiene una base de 1,5 m x 1,5 m y una altura de 2,5 m - 0,8 m - 1,2 m = 0,5 m (la altura es la altura total menos la altura del prisma 1 y la parte superpuesta del prisma 2). Volumen = base x altura Volumen = 1,5 m x 1,5 m x 0,5 m = 2,25 m² x 0,5 m = 1,125 m³ Ahora sumamos los volúmenes de los tres prismas para obtener el volumen total del sólido: Volumen total = Volumen del Prisma 1 + Volumen del Prisma 2 + Volumen del Prisma 3 Volumen total = 5,6 m³ + 3,6 m³ + 1,125 m³ Volumen total = 10,325 m³ Por lo tanto, el volumen del sólido es de 10,325 metros cúbicos.
Calculation of Length of AB in Tetrahedron
这是一个关于几何问题的问题。 已知：四面体 \(E-ABCD\)，底面 \(ABCD\) 为正方形，点 \(M\) 为边 \(BC\) 的中点，体积为 \(75 cm^3\)。 要求：计算边 \(AB\) 的长 \(x\)。 解： 设边 \(AB\) 的长为 \(x\)，因为 \(M\) 是 \(BC\) 的中点，所以 \(BM = MC = \frac{x}{2}\)。 设 \(EO\)（从顶点 \(E\) 到底面中心 \(O\) 的高）为 \(h\)。 四面体体积的公式是 \(V = \frac{1}{3} \times\) 底面积 \(A \times\) 高 \(h\)。 正方形面积为 \(A = x^2\)，四面体 \(E-ABCD\) 的体积 \(V\) 已知为 \(75 cm^3\)，所以： \[75 = \frac{1}{3} x^2 h\] 要求解边 \(AB\) 的长，我们首先需要确定 \(h\)。 观察图像，我们可以看到四面体 \(E-ABCD\) 的高 \(h\) 是 \(21 cm\)（从图示中看出），所以我们有全部需要的信息，以解决这一问题。 把已知的高 \(h=21 cm\) 代入体积公式： \[75 = \frac{1}{3} x^2 (21)\] 解这个方程，我们得到： \[x^2 = \frac{75 \times 3}{21}\] \[x^2 = \frac{225}{21}\] \[x^2 = \frac{75}{7}\] \[x = \sqrt{\frac{75}{7}}\] \[x = \sqrt{10.7142857}\] \[x \approx 3.27 cm\] 所以，边 \(AB\) 的长度约为 \(3.27 cm\)。
Volume of a Rectangular Pyramid with Given Angles
Đề bài cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh \(AB = a\) và góc giữa cạnh bên \(SA\) và mặt đáy \((ABCD)\) là \(60^\circ\). Ta cần tìm thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\), rõ ràng \(H\) chính là trung điểm của \(AB\). Do góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(60^\circ\), nên \(SH\) là hình chiếu của \(SA\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(60^\circ\). Từ đó ta có: \(SA = SH / \cos 60^\circ\) \(SA = 2 \cdot SH\) Bây giờ, ta cần tính \(SH\) để suy ra \(SA\). Ta biết: \(S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SH = \frac{9a \sqrt{3}}{4}\) Giải phương trình trên để tìm \(SH\), ta được: \(SH = \frac{9a \sqrt{3}}{2a} = \frac{9\sqrt{3}}{2}\) Vậy chiều cao \(SH\) của hình chóp là \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\). Để tính được \(SA\), ta dùng tỉ số đã tìm được ở trên: \(SA = 2 \cdot SH = 2 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) được tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{base}} \cdot h\) Trong đó \(S_{\text{base}}\) là diện tích mặt đáy \(ABCD\), và \(h\) là chiều cao của chóp (tức là \(SH\)). Diện tích mặt đáy có thể tính được bằng \(AB \cdot BC\), nhưng đề bài không cho chiều dài của \(BC\). Tuy nhiên, ta có thể tính diện tích của tam giác \(SAB\), từ đó suy ra được cạnh \(BC\). Vì \(S_{\triangle SAB}\) là nửa diện tích của hình chữ nhật đáy, nên: \(AB \cdot BC = 2 \cdot S_{\triangle SAB} = 2 \cdot \frac{9a \sqrt{3}}{4} = \frac{9a \sqrt{3}}{2}\) Bây giờ ta có thể tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}\) \(V = \frac{81a \sqrt{3}}{4}\) Chọn đáp án là B: \(V = \frac{81a \sqrt{3}}{4}\).
Comparing Value of Cylindrical Popcorn Containers
To determine which container is the better value, we need to calculate the volume of popcorn that each container can hold and then compare it to their costs. The containers are both cylindrical, so we can use the formula for the volume of a cylinder \( V = \pi r^2 h \), where \( r \) is the radius and \( h \) is the height of the cylinder. Let's start with the first container: - The height (h) is 19 cm. - The diameter is 12 cm, so the radius (r) is half that, which is 6 cm. Volume for the first container \( V_1 \) is: \[ V_1 = \pi (6\,cm)^2 (19\,cm) \] \[ V_1 = 3.14 \times 36\,cm^2 \times 19\,cm \] \[ V_1 = 3.14 \times 684\,cm^3 \] \[ V_1 = 2148.56\,cm^3 \] Now for the second container: - The height (h) is 15 cm. - The diameter is 8 cm, so the radius (r) is half that, which is 4 cm. Volume for the second container \( V_2 \) is: \[ V_2 = \pi (4\,cm)^2 (15\,cm) \] \[ V_2 = 3.14 \times 16\,cm^2 \times 15\,cm \] \[ V_2 = 3.14 \times 240\,cm^3 \] \[ V_2 = 753.6\,cm^3 \] Now, let's calculate the cost per cubic centimeter for each container: - First container cost per cubic centimeter is \(\frac{$6.75}{2148.56\,cm^3}\). - Second container cost per cubic centimeter is \(\frac{$6.25}{753.6\,cm^3}\). Let's do the math: - First container cost per cubic centimeter: \(\frac{6.75}{2148.56} \approx 0.00314\,\text{$/cm}^3\) - Second container cost per cubic centimeter: \(\frac{6.25}{753.6} \approx 0.00829\,\text{$/cm}^3\) Since the first container has a lower cost per cubic centimeter, it is the better value.
Volume Calculation of Joining Rectangular Prisms
To find the volume of the given shape, we will break it down into simpler rectangular prisms and calculate the volume of each before adding them together. The figure shows three rectangular prisms joined together. Let's label each part of the figure: - Prism A (the largest part): 10 cm (length) x 6 cm (width) x 2 cm (height) - Prism B (the middle part): 8 cm (length) x 2 cm (width) x 5 cm (height) - Prism C (the top part): 3 cm (length) x 2 cm (width) x 6 cm (height) Now, calculate the volume of each prism using the formula for the volume of a rectangular prism, which is length x width x height. - Volume of Prism A: \(10 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^3\) - Volume of Prism B: \(8 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 80 \text{ cm}^3\) - Volume of Prism C: \(3 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^3\) Finally, add the volumes of each prism together to get the total volume of the shape: Total Volume = Volume of Prism A + Volume of Prism B + Volume of Prism C Total Volume = 120 cm³ + 80 cm³ + 36 cm³ Total Volume = 236 cm³ So, the total volume of the shape is 236 cubic centimeters.
Finding the Rectangular Prism Model for a Given Volume
The question is asking to find out which model of a rectangular prism represents a box that has a volume of 520 cubic inches. To solve this, we need to calculate the volume of each rectangular prism (A, B, C, D) using the formula for the volume of a rectangular prism: \[ \text{Volume} = \text{length} \times \text{width} \times \text{height} \] Let's calculate the volume for each option: A. Volume = 12 in. x 10 in. x 6 in. = 720 cubic inches B. Volume = 10 in. x 7 in. x 3 in. = 210 cubic inches C. Volume = 13 in. x 8 in. x 5 in. = 520 cubic inches D. Volume = 13 in. x 9 in. x 4 in. = 468 cubic inches The only option with a volume of 520 cubic inches is option C, so option C represents Juan's box.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com