Question - Volume of a Rectangular Pyramid with Given Angles
Solution:
Đề bài cho hình chóp $$S.ABCD$$ có đáy $$ABCD$$ là hình chữ nhật, cạnh $$AB = a$$ và góc giữa cạnh bên $$SA$$ và mặt đáy $$(ABCD)$$ là $$60^\circ$$. Ta cần tìm thể tích $$V$$ của khối chóp $$S.ABCD$$.Gọi $$H$$ là hình chiếu vuông góc của $$S$$ lên mặt phẳng $$(ABCD)$$, rõ ràng $$H$$ chính là trung điểm của $$AB$$. Do góc giữa $$SA$$ và mặt phẳng $$(ABCD)$$ là $$60^\circ$$, nên $$SH$$ là hình chiếu của $$SA$$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $$60^\circ$$. Từ đó ta có:$$SA = SH / \cos 60^\circ$$$$SA = 2 \cdot SH$$Bây giờ, ta cần tính $$SH$$ để suy ra $$SA$$. Ta biết:$$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SH = \frac{9a \sqrt{3}}{4}$$Giải phương trình trên để tìm $$SH$$, ta được:$$SH = \frac{9a \sqrt{3}}{2a} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$Vậy chiều cao $$SH$$ của hình chóp là $$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$. Để tính được $$SA$$, ta dùng tỉ số đã tìm được ở trên:$$SA = 2 \cdot SH = 2 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$$Thể tích khối chóp $$S.ABCD$$ được tính bằng công thức:$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{base}} \cdot h$$Trong đó $$S_{\text{base}}$$ là diện tích mặt đáy $$ABCD$$, và $$h$$ là chiều cao của chóp (tức là $$SH$$). Diện tích mặt đáy có thể tính được bằng $$AB \cdot BC$$, nhưng đề bài không cho chiều dài của $$BC$$. Tuy nhiên, ta có thể tính diện tích của tam giác $$SAB$$, từ đó suy ra được cạnh $$BC$$.Vì $$S_{\triangle SAB}$$ là nửa diện tích của hình chữ nhật đáy, nên:$$AB \cdot BC = 2 \cdot S_{\triangle SAB} = 2 \cdot \frac{9a \sqrt{3}}{4} = \frac{9a \sqrt{3}}{2}$$Bây giờ ta có thể tính thể tích khối chóp:$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}$$$$V = \frac{81a \sqrt{3}}{4}$$Chọn đáp án là B: $$V = \frac{81a \sqrt{3}}{4}$$.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com