Question - Calculation of Length of AB in Tetrahedron
Solution:
这是一个关于几何问题的问题。已知：四面体 $$E-ABCD$$，底面 $$ABCD$$ 为正方形，点 $$M$$ 为边 $$BC$$ 的中点，体积为 $$75 cm^3$$。要求：计算边 $$AB$$ 的长 $$x$$。解：设边 $$AB$$ 的长为 $$x$$，因为 $$M$$ 是 $$BC$$ 的中点，所以 $$BM = MC = \frac{x}{2}$$。设 $$EO$$（从顶点 $$E$$ 到底面中心 $$O$$ 的高）为 $$h$$。四面体体积的公式是 $$V = \frac{1}{3} \times$$ 底面积 $$A \times$$ 高 $$h$$。正方形面积为 $$A = x^2$$，四面体 $$E-ABCD$$ 的体积 $$V$$ 已知为 $$75 cm^3$$，所以：\[75 = \frac{1}{3} x^2 h\]要求解边 $$AB$$ 的长，我们首先需要确定 $$h$$。观察图像，我们可以看到四面体 $$E-ABCD$$ 的高 $$h$$ 是 $$21 cm$$（从图示中看出），所以我们有全部需要的信息，以解决这一问题。把已知的高 $$h=21 cm$$ 代入体积公式：\[75 = \frac{1}{3} x^2 (21)\]解这个方程，我们得到：\[x^2 = \frac{75 \times 3}{21}\]\[x^2 = \frac{225}{21}\]\[x^2 = \frac{75}{7}\]\[x = \sqrt{\frac{75}{7}}\]\[x = \sqrt{10.7142857}\]\[x \approx 3.27 cm\]所以，边 $$AB$$ 的长度约为 $$3.27 cm$$。
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