Question - Calculating Volumes using the Disk Method for Solid of Revolution
Solution:
Para resolver este problema, utilizaremos el método de los discos para calcular el volumen de una figura de revolución. El segmento de recta dado por la ecuación $$ y = 2x + 1 $$ se gira alrededor del eje x para formar un volumen tridimensional, y queremos calcular el volumen de este sólido entre $$ x = 1 $$ y $$ x = 5 $$.La fórmula para el volumen $$ V $$ del sólido de revolución generado al girar una función $$ y = f(x) $$ alrededor del eje x, entre $$ x = a $$ y $$ x = b $$, es:\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]Dado que $$ f(x) = 2x + 1 $$, la integral que necesitamos resolver es:\[ V = \pi \int_{1}^{5} (2x + 1)^2 dx \]Desarrollamos el cuadrado de la función dentro de la integral:\[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \]Ahora integramos término por término:\[ V = \pi \int_{1}^{5} (4x^2 + 4x + 1) dx \]\[ V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x \right]_{1}^{5} \]Evaluamos la integral definida:\[ V = \pi \left( \left[ \frac{4(5^3)}{3} + 2(5^2) + 5 \right] - \left[ \frac{4(1^3)}{3} + 2(1^2) + 1 \right] \right) \]\[ V = \pi \left( \left[ \frac{4 \cdot 125}{3} + 50 + 5 \right] - \left[ \frac{4}{3} + 2 + 1 \right] \right) \]\[ V = \pi \left( \left[ \frac{500}{3} + 55 \right] - \left[ \frac{7}{3} \right] \right) \]\[ V = \pi \left( \frac{500}{3} + 55 - \frac{7}{3} \right) \]\[ V = \pi \left( \frac{500 + 165 - 7}{3} \right) \]\[ V = \pi \left( \frac{658}{3} \right) \]Por lo tanto, el volumen del cono generado es:\[ V = \frac{658\pi}{3} \text{ unidades cúbicas} \]
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