Question - Calculating Volume of Solid of Revolution using Disk Method
Solution:
El problema pide calcular el volumen de un sólido de revolución generado al girar la función $$ y = 3x^2 + 2x + 3 $$ alrededor del eje x, desde $$ x = 0.9 $$ hasta $$ x = 1.35 $$. Para resolver este problema, podemos utilizar el método de los discos o el método del cilindro, en este caso, utilizaré el método de los discos.El método de los discos consiste en integrar el área de los discos perpendiculares al eje de revolución. La fórmula para el volumen de un disco es $$ \pi r^2 $$ donde $$ r $$ es la distancia desde el eje de revolución hasta el borde del disco. En este caso, la distancia es simplemente el valor de la función $$ y $$ para un valor dado de $$ x $$, es decir $$ r = y = 3x^2 + 2x + 3 $$.El volumen $$ V $$ del sólido de revolución será la integral definida de $$ \pi y^2 $$ de los límites de $$ x $$:\[ V = \pi \int_{0.9}^{1.35} (3x^2 + 2x + 3)^2 \,dx \]Empecemos integrando el cuadrado de la función paso a paso:\[ (3x^2 + 2x + 3)^2 = (3x^2 + 2x + 3)(3x^2 + 2x + 3) \]\[ = 9x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 6x^3 + 4x^2 + 6x + 9x^2 + 6x + 9 \]\[ = 9x^4 + 12x^3 + 22x^2 + 12x + 9 \]Ahora integramos término a término:\[ \int (9x^4 + 12x^3 + 22x^2 + 12x + 9) \,dx = \frac{9}{5}x^5 + 3x^4 + \frac{22}{3}x^3 + 6x^2 + 9x + C \]Ahora evaluamos la integral definida desde $$ x = 0.9 $$ hasta $$ x = 1.35 $$:\[ V = \pi \left[ \frac{9}{5}(1.35)^5 + 3(1.35)^4 + \frac{22}{3}(1.35)^3 + 6(1.35)^2 + 9(1.35) \right] - \pi \left[ \frac{9}{5}(0.9)^5 + 3(0.9)^4 + \frac{22}{3}(0.9)^3 + 6(0.9)^2 + 9(0.9) \right] \]Ahora puedes usar una calculadora para resolver esta evaluación y obtener el valor exacto del volumen. Recuerda incluir el factor $$ \pi $$ en cada término y realizar la operación entre paréntesis para ambos límites antes de restarlos.
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