Example Question - sum of fractions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Weight of Materials
Para resolver esta pregunta, necesitamos sumar las cantidades de peso de los diferentes materiales que Felicia está cargando. Primero, sumamos los pesos expresados en fracciones de kilos: - Clavos: \( \frac{3}{4} \) de kilo - Cal: 100 gramos (debemos convertir esta cantidad a kilos sabiendo que 1 kilo = 1000 gramos, así que 100 gramos = \( \frac{100}{1000} \) kilos = \( \frac{1}{10} \) kilo) - Yeso: \( \frac{1}{2} \) kilo - Cemento: \( \frac{1}{3} \) kilo Ahora sumamos todas estas cantidades: \( \frac{3}{4} \) kilo + \( \frac{1}{10} \) kilo + \( \frac{1}{2} \) kilo + \( \frac{1}{3} \) kilo Para sumar fracciones, necesitamos un denominador común. En este caso, podemos tomar el 60 porque es múltiplo común de 2, 3, 4 y 10. Convertimos las fracciones a este denominador común: \( \frac{3}{4} = \frac{45}{60} \) \( \frac{1}{10} = \frac{6}{60} \) \( \frac{1}{2} = \frac{30}{60} \) \( \frac{1}{3} = \frac{20}{60} \) Y sumamos: \( \frac{45}{60} + \frac{6}{60} + \frac{30}{60} + \frac{20}{60} = \frac{101}{60} \) Ahora convertimos esta fracción impropia a un número mixto: \( \frac{101}{60} = 1 \frac{41}{60} \) kilos Ahora convertimos el número mixto en kilogramos y gramos. Como hay 1 kilo entero, solo convertimos los gramos. Hay 41 gramos en \( \frac{41}{60} \) de un kilo, porque \( \frac{41}{60} \) de 1000 gramos (que equivale a un kilo) es aproximadamente 683.33 gramos. Entonces, Felicia está cargando aproximadamente 1 kilo y 683 gramos. La opción más cercana es la respuesta D, 1 kilo y 683 gramos. Sin embargo, debe haber un error en las opciones de respuesta o en el cálculo porque ninguno de los números indicados corresponde exactamente al cálculo realizado. La opción D es 1 kilo y 683 gramos, lo que es más cercano a nuestro resultado de 1 kilo y 683 gramos que las otras opciones. Dado el cálculo, parece que las opciones de respuesta pueden estar incorrectas o puede haber un error tipográfico en el problema.
Sum of Fractions with Different Denominators
Para resolver la suma de fracciones \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\), primero necesitas encontrar un denominador común, que es el múltiplo más pequeño que tienen en común ambos denominadores. En este caso, el denominador común para 3 y 4 es 12, ya que es el menor número que es múltiplo tanto de 3 como de 4. Ahora debes convertir ambas fracciones a fracciones equivalentes con el denominador común. Esto lo haces multiplicando numerador y denominador de cada fracción por el número necesario para que el denominador se convierta en 12. Para \(\frac{1}{3}\), multiplicas tanto el numerador como el denominador por 4 para obtener una fracción equivalente: \[\frac{1}{3} \times \frac{4}{4} = \frac{4}{12}\] Para \(\frac{1}{4}\), multiplicas tanto el numerador como el denominador por 3 para obtener una fracción equivalente: \[\frac{1}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{12}\] Ahora puedes sumar las nuevas fracciones: \[\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}\] Entonces, la suma de \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{4}\) es \(\frac{7}{12}\).
Sum of Fractions with Different Denominators
Claro, vamos a resolver la suma de fracciones que se muestra en la imagen: Tenemos las fracciones \( \frac{3}{8} \) y \( \frac{1}{6} \). Para sumarlas, necesitamos que tengan el mismo denominador. En este caso, el mínimo común denominador (MCD) de 8 y 6 es 24. Ahora convertimos ambas fracciones para que tengan el denominador 24. Para la fracción \( \frac{3}{8} \), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 3 para obtener \( \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24} \). Para la fracción \( \frac{1}{6} \), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 4 para obtener \( \frac{1 \times 4}{6 \times 4} = \frac{4}{24} \). Ahora sumamos las dos fracciones con el mismo denominador: \( \frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{9 + 4}{24} = \frac{13}{24} \). Por lo tanto, la suma de \( \frac{3}{8} + \frac{1}{6} \) es \( \frac{13}{24} \).
Sum of Fractions with Different Denominators
Claro, vamos a resolver la operación con fracciones que aparece en la imagen. La operación parece ser la suma de tres fracciones: \[ \frac{4}{3} + \frac{5}{2} + \frac{6}{8} \] Para sumar fracciones con diferentes denominadores, necesitamos encontrar un denominador común. El denominador común más pequeño para 3, 2 y 8 es 24. Convertimos cada fracción para que todas tengan el denominador de 24: \[ \frac{4}{3} \times \frac{8}{8} = \frac{32}{24} \] \[ \frac{5}{2} \times \frac{12}{12} = \frac{60}{24} \] \[ \frac{6}{8} \times \frac{3}{3} = \frac{18}{24} \] Ahora sumamos las fracciones con el mismo denominador: \[ \frac{32}{24} + \frac{60}{24} + \frac{18}{24} = \frac{32 + 60 + 18}{24} \] \[ \frac{110}{24} \] Ahora, simplificamos la fracción dividiendo tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor que es 2: \[ \frac{110 \div 2}{24 \div 2} = \frac{55}{12} \] Finalmente, ya que 55 es mayor que 12, convertimos la fracción impropia en un número mixto: \[ \frac{55}{12} = 4 \frac{7}{12} \] Por lo tanto, la respuesta a la suma de las fracciones es \( 4 \frac{7}{12} \).
Sum of Fractions with Common Denominator
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tổng của các biểu thức phân thức đã cho. Điều đầu tiên và quan trọng nhất là tìm mẫu số chung nhỏ nhất (MCNN) để có thể cộng các phân số với nhau. Các mẫu số hiện tại là: \( (x - 1), (1 - x), \) và \( (x - 1) \). Ta có thể thấy rằng \( (1 - x) \) là mẫu số không đồng nhất với hai mẫu số còn lại, nhưng chúng ta có thể thấy rằng \( (1 - x) \) chỉ là \( -(x - 1) \), vì vậy các mẫu số đều liên quan đến nhau. Nhân tử chung nhỏ nhất sẽ là \( (x - 1) \) vì \( -(x - 1) \) chỉ khác một dấu và khi chúng ta nhân hoặc chia cho -1, nó sẽ giống như \( (x - 1) \). Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán số hạng tử của mỗi phân số sau khi thực hiện quá trình quy đồng mẫu số. 1. Biểu thức đầu tiên không cần thay đổi vì nó đã có mẫu số \( (x - 1) \). Tử số là \( 2x^2 - x \). 2. Biểu thức thứ hai cần được nhân với -1 ở cả tử và mẫu để đặt mẫu số dưới dạng \( (x - 1) \). Vì vậy, tử số trở thành \( -(x + 1) \) hoặc \( -x - 1 \). 3. Biểu thức thứ ba đã có mẫu số \( (x - 1) \), tử số là \( 2 - x \). Hãy cộng tất cả các tử số lại với nhau, với mẫu số chung \( (x - 1) \): \[ \frac{2x^2 - x}{x - 1} + \frac{-x - 1}{x - 1} + \frac{2 - x}{x - 1} = \frac{2x^2 - x - x - 1 + 2 - x}{x - 1} \] Giờ thực hiện phép tính tử số: \[ 2x^2 - x - x - 1 + 2 - x = 2x^2 - 3x + 1 \] Vậy, tổng của các phân số sau khi quy đồng mẫu số là: \[ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} \] Đây là dạng tối giản của tổng các phân số đã cho.
Summation of a Sequence of Fractions
Trong hình ảnh bạn cung cấp, có hai phần nhiệm vụ khác nhau và tôi sẽ giải quyết phần thứ nhất: Công thức cho dãy số \( S \) như sau: \[ S = \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \frac{2}{7.9} + \cdots + \frac{2}{97.99} \] Chúng ta có thể thấy rằng mỗi phần của tổng đều có dạng \( \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \), với \( n = 2, 3, 4, \ldots, 49 \). Để tính tổng này, chúng ta sử dụng phương pháp phân tích mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số: \[ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1} \] Tìm \( A \) và \( B \) bằng cách đặt mẫu số chung và so sánh tử số: \[ 2 = A(2n+1) + B(2n-1) \] Đặt \( n = 1 \), chúng ta có \( 2 = A \times 3 + B \times 1 \), có nghĩa là \( A = \frac{2}{3} \), \( B = -\frac{2}{3} \). Bằng cách thay các giá trị này trở lại vào phần tổng ban đầu và thực hiện phép cộng theo dãy số, chúng ta thấy rằng nhiều số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ S = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{2}{97} - \frac{2}{99} \right) \] Tương tự như phân số chung, tử số của các phần sau sẽ huỷ lẫn nhau và chỉ còn lại hai phần đầu và cuối: \[ S = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{2}{99} \right) \] \[ S = \frac{2 \times 33 - 2}{99} \] \[ S = \frac{66 - 2}{99} \] \[ S = \frac{64}{99} \] Như vậy, tổng \( S \) của dãy số là \(\frac{64}{99}\).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com