Question - Summation of a Sequence of Fractions
Solution:
Trong hình ảnh bạn cung cấp, có hai phần nhiệm vụ khác nhau và tôi sẽ giải quyết phần thứ nhất:Công thức cho dãy số $$ S $$ như sau: \[ S = \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \frac{2}{7.9} + \cdots + \frac{2}{97.99} \]Chúng ta có thể thấy rằng mỗi phần của tổng đều có dạng $$ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} $$, với $$ n = 2, 3, 4, \ldots, 49 $$. Để tính tổng này, chúng ta sử dụng phương pháp phân tích mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số:\[ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1} \]Tìm $$ A $$ và $$ B $$ bằng cách đặt mẫu số chung và so sánh tử số:\[ 2 = A(2n+1) + B(2n-1) \]Đặt $$ n = 1 $$, chúng ta có $$ 2 = A \times 3 + B \times 1 $$, có nghĩa là $$ A = \frac{2}{3} $$, $$ B = -\frac{2}{3} $$.Bằng cách thay các giá trị này trở lại vào phần tổng ban đầu và thực hiện phép cộng theo dãy số, chúng ta thấy rằng nhiều số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau:\[ S = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{2}{97} - \frac{2}{99} \right) \]Tương tự như phân số chung, tử số của các phần sau sẽ huỷ lẫn nhau và chỉ còn lại hai phần đầu và cuối:\[ S = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{2}{99} \right) \]\[ S = \frac{2 \times 33 - 2}{99} \]\[ S = \frac{66 - 2}{99} \]\[ S = \frac{64}{99} \]Như vậy, tổng $$ S $$ của dãy số là $$\frac{64}{99}$$.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com