Example Question - solving
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Value of a Variable
<p>To solve for \( q \), start with the equation:</p> <p> \( 16 \times 5 \times \frac{q}{10} = \text{{value}} \)</p> <p>First, simplify the left side:</p> <p> \( 16 \times 5 = 80 \), hence:</p> <p> \( 80 \times \frac{q}{10} = \text{{value}} \)</p> <p>Next, multiply \( 80 \) by \( \frac{1}{10} \):</p> <p> \( 8q = \text{{value}} \)</p> <p>Finally, solve for \( q \):</p> <p> \( q = \frac{\text{{value}}}{8} \)</p>
Matrix Equation Solving
<p>Given the equation:</p> <p>\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ y & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ x & 7 \end{pmatrix}\)</p> <p>We can separate this into two equations by comparing corresponding elements:</p> <p>1. \(0 + 4 = 4\)</p> <p>2. \(1 - 1 = 0\)</p> <p>3. \(y + 6 = x\)</p> <p>4. \(5 + x = 7\)</p> <p>From equation 1 and 2, we directly confirm that both hold true. Now, solving for \(x\) from equation 4:</p> <p>From \(5 + x = 7\)</p> <p>\(x = 7 - 5\)</p> <p>Thus, \(x = 2\).</p> <p>Now substitute \(x\) into equation 3:</p> <p>\(y + 6 = 2\)</p> <p>Thus, \(y = 2 - 6\)</p> <p>So, \(y = -4\).</p> <p>Final values: \(x = 2, y = -4\).</p>
Finding the Value of a Variable
<p>Empezamos con la ecuación: </p> <p>\(\frac{x}{5} + \frac{x}{3} + \frac{x}{15} = 9\)</p> <p>El común denominador de los denominadores 5, 3 y 15 es 15. Multiplicamos toda la ecuación por 15:</p> <p> \(15 \left(\frac{x}{5}\right) + 15 \left(\frac{x}{3}\right) + 15 \left(\frac{x}{15}\right) = 15 \cdot 9\)</p> <p>Esto nos da:</p> <p> \(3x + 5x + x = 135\)</p> <p>Sumamos los términos similares:</p> <p> \(9x = 135\)</p> <p>Ahora dividimos ambos lados por 9:</p> <p> \(x = \frac{135}{9}\)</p> <p>Por lo tanto, \(x = 15\).</p>
Finding the Value of x
<p>Comencemos por simplificar la ecuación dada:</p> <p>2 - \{4 - (x - 1)\} = 7 - 3x</p> <p>Primero, expandimos y simplificamos el lado izquierdo:</p> <p>2 - 4 + x - 1 = 7 - 3x</p> <p>Esto se convierte en:</p> <p>x - 3 = 7 - 3x</p> <p>Añadimos 3x a ambos lados:</p> <p>x + 3x - 3 = 7</p> <p>4x - 3 = 7</p> <p>Añadimos 3 a ambos lados:</p> <p>4x = 10</p> <p>Dividimos ambos lados por 4:</p> <p>x = \frac{10}{4}</p> <p>x = \frac{5}{2}</p> <p>Así que el valor de x es:</p> <p>x = \frac{5}{2}</p>
Method for Solving First Order Linear Differential Equations
<p>Las condiciones para aplicar el método para resolver ecuaciones lineales de primer orden son:</p> <p>- La ecuación debe tener la forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \), donde \( P(x) \) y \( Q(x) \) son funciones de \( x \).</p> <p>La ecuación dada está en la forma \( \frac{dy}{dx} - y = x \cdot sen(x) \), que es una ecuación lineal de primer orden.</p> <p>Identificamos \( P(x) = -1 \) y \( Q(x) = x \cdot sen(x) \).</p> <p>Para resolver la ecuación, primero encontramos el factor integrante:</p> <p>\( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int dx} = e^{-x} \).</p> <p>Multipliquemos ambos lados de la ecuación por \( \mu(x) \) para obtener:</p> <p>\( e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} \).</p> <p>La izquierda ahora es la derivada del producto de \( y \) y \( \mu(x) \):</p> <p>\( \frac{d}{dx}(e^{-x}y) = x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} \).</p> <p>Integramos ambos lados respecto a \( x \):</p> <p>\( \int \frac{d}{dx}(e^{-x}y)dx = \int x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} dx \).</p> <p>\( e^{-x}y = \int x \cdot sen(x) \cdot e^{-x} dx \).</p> <p>El lado derecho requiere integración por partes dos veces. Sea \( u = x \) y \( dv = sen(x) \cdot e^{-x} dx \), entonces \( du = dx \) y \( v = - cos(x) \cdot e^{-x} - \int -cos(x) \cdot e^{-x} dx \), donde la segunda integral también se calcula por partes.</p> <p>Por lo tanto, al resolver las integrales por partes, obtenemos:</p> <p>\( e^{-x}y = -x \cdot cos(x) \cdot e^{-x} + \int cos(x) \cdot e^{-x} dx - \int -cos(x) \cdot e^{-x} dx \).</p> <p>Resolviendo las integrales y simplificando, llegamos a:</p> <p>\( e^{-x}y = -x \cdot cos(x) \cdot e^{-x} + \text{(términos de la integración por partes)} \).</p> <p>Finalmente, despejamos \( y \):</p> <p>\( y = e^{x} \left( -x \cdot cos(x) \cdot e^{-x} + \text{(términos de la integración por partes)} \right) \).</p> <p>Este es el resultado general de \( y(x) \), sujeta a la simplificación de los términos resultantes de la integración por partes.</p>
Solving a Reading Comprehension Question
The correct answer is option C: "to highlight Grace's internal debate over her sense of belonging and her need to create elaborate impersonations."
Solving Trigonometric Expression
El problema que se muestra en la imagen pide calcular el valor de la expresión \(\sin(40°) \cos(10°) - 10^0 \cos(40°)\). Primero, debemos simplificar 10^0. Cualquier número elevado a la potencia de 0 es igual a 1. Entonces tenemos: \(\sin(40°) \cos(10°) - 1 \cdot \cos(40°)\) Ahora, sustituimos este resultado para simplificar la expresión original: \(\sin(40°) \cos(10°) - \cos(40°)\) Dado que no tengo una calculadora a mano para realizar estas operaciones, utilizaré las identidades de reducción y las relaciones trigonométricas fundamentales para simplificar la expresión. Sabemos que \(\cos(90° - \theta) = \sin(\theta)\), entonces \(\cos(10°) = \sin(80°)\). Ahora podemos reescribir la expresión usando la identidad \(\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\): \(\sin(40°) \sin(80°) - \cos(40°) = \frac{1}{2} [\sin(120°) + \sin(0°)] - \cos(40°)\) Simplificando aún más, sabemos que \(\sin(120°)\) es \(\sqrt{3}/2\) y \(\sin(0°)\) es 0, entonces: \(\frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 0\right) - \cos(40°) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \cos(40°)\) Sin una calculadora y sin valores exactos conocidos para \(\cos(40°)\), no se puede simplificar la expresión a un valor numérico exacto. En conclusión, el resultado de la expresión \(\sin(40°) \cos(10°) - \cos(40°)\), sin una calculadora, se simplifica a \(\frac{\sqrt{3}}{4} - \cos(40°)\). Para obtener un valor numérico, se necesitaría calcular o buscar el valor de \(\cos(40°)\).
Solving a Quadratic Equation by the Quadratic Formula
Para resolver la ecuación que aparece en la imagen, necesitamos simplificar y expandir las expresiones en ambos lados del signo igual, y después recolectar términos semejantes y resolver para x. La ecuación es: \( 6(2x - 3) + (2x - 9)^2 = (5x + 1)(4x - 3) \) Comenzamos expandiendo y simplificando ambos lados de la ecuación: Primero, el lado izquierdo de la ecuación: \( 6(2x - 3) = 12x - 18 \) \( (2x - 9)^2 = (2x - 9)(2x - 9) = 4x^2 - 18x - 18x + 81 = 4x^2 - 36x + 81 \) Sumamos ambas expresiones simplificadas: \( 12x - 18 + 4x^2 - 36x + 81 \) \( = 4x^2 - 24x + 63 \) Ahora, el lado derecho de la ecuación: \( (5x + 1)(4x - 3) = 20x^2 - 15x + 4x - 3 = 20x^2 - 11x - 3 \) Igualamos ambas expresiones: \( 4x^2 - 24x + 63 = 20x^2 - 11x - 3 \) Ahora, llevamos todos los términos al mismo lado para tener una ecuación cuadrática igualada a cero: \( 4x^2 - 24x + 63 - 20x^2 + 11x + 3 = 0 \) \( -16x^2 + 13x + 66 = 0 \) Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver por factorización, completando el cuadrado o usando la fórmula cuadrática. Sin embargo, al mirar los coeficientes, parece que no hay factores obvios, así que la fórmula cuadrática parece ser la mejor opción. La fórmula cuadrática es \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), donde \(a\), \(b\), y \(c\) son los coeficientes de la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\). En este caso, \(a = -16\), \(b = 13\), y \(c = 66\). Calculamos el discriminante (\(b^2 - 4ac\)): \(13^2 - 4(-16)(66) = 169 + 4224 = 4393\) Y aplicamos la fórmula cuadrática: \(x = \frac{-13 \pm \sqrt{4393}}{-32}\) Por lo tanto, tenemos dos soluciones posibles para \(x\), dependiendo de si tomamos la raíz cuadrada positiva o negativa del discriminante. Como el discriminante es un número positivo, sabemos que existen dos soluciones reales y distintas para esta ecuación cuadrática.
Solving Definite Integral of x
Para resolver la integral definida \(\int_{0}^{a} x dx\), primero encontraremos la integral indefinida de \(x\) con respecto a \(x\), y después evaluaremos esa integral entre los límites de 0 a \(a\). La integral indefinida de \(x\) es \(\frac{x^2}{2}+C\), donde \(C\) es la constante de integración. Dado que estamos haciendo una integral definida, la constante \(C\) se cancelará al evaluar en los límites, así que podemos ignorarla. Ahora evaluamos la integral indefinida entre los límites dados: \[ \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^a = \frac{a^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{a^2}{2} - 0 = \frac{a^2}{2} \] Por lo tanto, la solución de la integral es \(\frac{a^2}{2}\). La respuesta correcta es la opción c) \(\frac{a^2}{2}\).
Solving Quadratic Equation x^2 + x - 20 = 0
Voy a resolver la ecuación de la parte a: x^2 + x - 20 = 0 Esta es una ecuación cuadrática que se puede factorizar para encontrar las soluciones. Buscamos dos números que multiplicados den -20 y sumados den +1 (el coeficiente del término lineal x). Estos números son +5 y -4, porque 5 * (-4) = -20 y 5 + (-4) = 1. Entonces podemos escribir la ecuación cuadrática como: (x + 5)(x - 4) = 0 Para encontrar las soluciones, igualamos cada factor a cero: x + 5 = 0 o x - 4 = 0 De la primera ecuación, x = -5. De la segunda ecuación, x = 4. Entonces las soluciones para la ecuación x^2 + x - 20 = 0 son x = -5 y x = 4.
Solving for Missing Side Length in Similar Triangles
To solve for the missing side length, we can use the property that corresponding sides of similar triangles are proportional. The corresponding sides of the triangles are in proportion, so we can set up the following equation: \[ \frac{x}{8} = \frac{8}{16} \] Now solve for \( x \): \[ x = \frac{8 \times 8}{16} \] \[ x = \frac{64}{16} \] \[ x = 4 \] Therefore, the missing side length \( x \) is 4 units.
Solving Linear Equation with One Variable
Claro, podemos resolver esta ecuación paso a paso. La ecuación es \(2x - 1 = 6x + 8\). Primero, queremos obtener todos los términos con \(x\) en un lado de la ecuación y los términos constantes en el otro. Para hacer esto, restaremos \(2x\) de ambos lados de la ecuación y restaremos \(8\) de ambos lados también. Esto nos dará: \(2x - 1 - 2x = 6x + 8 - 2x\) \(-1 = 4x + 8\) Y luego: \(-1 - 8 = 4x + 8 - 8\) \(-9 = 4x\) Ahora, dividimos ambos lados por 4 para despejar \(x\): \(\frac{-9}{4} = \frac{4x}{4}\) \(-\frac{9}{4} = x\) Por lo tanto, la solución para \(x\) es \(-\frac{9}{4}\) o \(-2.25\).
Solving Inequality with Negative Square Root
The image shows an inequality with a square root and two empty boxes for numbers. The inequality is as follows: \[ \text{[Box 1]} < -\sqrt{118} < \text{[Box 2]} \] To solve this, let's find the square root of \( 118 \): The square root of \( 118 \) is an irrational number, and it is approximately equal to \( 10.86278 \) when we take the positive root. However, in this context, we're looking at the negative square root of \( 118 \), which would be approximately \( -10.86278 \). Now, we're looking for two integers that the negative square root of \( 118 \) falls between. Since \( -10.86278 \) is between \( -11 \) and \( -10 \), these would be the integers we are looking for: \[ -11 < -\sqrt{118} < -10 \] So, the numbers that should fill the boxes from left to right are \( -11 \) and \( -10 \).
Solving Inequalities with Minimum Integer
题目给出的不等式是 `-3 < 9 - 2p < 4`。我们需要找到满足这个不等式的最小整数`p`。 首先，我们将不等式分为两部分处理： 1. `-3 < 9 - 2p` 2. `9 - 2p < 4` 对第一个不等式 `-3 < 9 - 2p` 进行操作，得到： `-3 - 9 < -2p` `-12 < -2p` `6 > p` (两边同时除以 `-2` 并且翻转不等号，因为我们是除以负数) 对第二个不等式 `9 - 2p < 4` 进行操作，得到： `-2p < 4 - 9` `-2p < -5` `p > 2.5` (两边同时除以 `-2` 并且翻转不等号) 结合两个部分中间的 `p`，我们得到 `2.5 < p < 6`。所以满足条件的最小整数 `p` 是 `3`。 答案是 B) `3`。
Solving Trigonometric Equation with Conditions in Given Range
이 방정식을 푸는 방법은 다음과 같습니다. 우리는 주어진 범위 내에서 방정식 sin(x) + √3 cos(x) = 1을 만족하는 x값을 찾아야 합니다. 우선, 방정식 양변에 cos(x)를 나누어서 식을 간단히 합니다. tan(x) + √3 = 1 / cos(x) 여기서, tan(x)는 sin(x)/cos(x)이므로 식을 다시 쓸 수 있습니다. (sin(x)/cos(x)) + √3 = 1/cos(x) 이제, 이 식을 cos(x)에 대한 이차방정식으로 재정리합니다. sin(x) + √3cos(x) = cos(x) 위 식을 다시 배열하면, sin(x) = (1 - √3)cos(x) 이제 삼각함수의 항등식을 이용하여 x 값을 찾을 수 있습니다. tan(x) = sin(x)/cos(x) = 1 - √3 우리는 주어진 범위 내에서 tan(x)가 1 - √3이 되는 x 값을 찾아야 합니다. 1 - √3은 음수 값이므로 우리는 tan(x)가 음수인 사분면을 고려해야 합니다. 이 경우 2사분면과 4사분면입니다. tan(x)의 주기는 π이므로, 우리는 이 범위 내에서 tan(x) = 1 - √3을 만족하는 각도 x를 찾기 위해 x를 π 단위로 증가시키면서 검사해야 합니다. 또한 tan(x)의 값이 음수가 되는 각도는 π/2 < x < π(2사분면)와 3π/2 < x < 2π(4사분면) 입니다. 하지만 주어진 범위는 -3π < x < 3π/2 이므로 우리는 2사분면과 4사분면에서 tan(x) = 1 - √3을 만족하는 x를 찾으면 됩니다. 따라서 주어진 범위 내에서 tan(x) = 1 - √3을 만족하는 x를 찾기 위해서는 arctan(1 - √3) 값을 구한 다음, 해당 값에 해당하는 각도가 주어진 범위 내에 있는지 확인해야 합니다. 허나 실제로 구하려는 값 tan(x) = 1 - √3는 표준 삼각함수의 값에 해당하지 않기 때문에, 이 식을 만족하는 정확한 각도 x를 찾기 위해서는 계산기나 수치적인 해법을 사용해야 합니다. 주어진 범위 내에서 이를 만족하는 x의 값을 찾아야 하며, 이 값이 실제로 그 범위에 들어맞는지 확인해야 합니다.
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