Example Question - sequence
Here are examples of questions we've helped users solve.
Complex Numbers and Quadrilaterals in the Complex Plane
<p>1)a) Pour résoudre dans \(\mathbb{C}\), on écrit l'équation sous forme trigonométrique :</p> <p>\[ z^2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) \]</p> <p>On applique la formule de Moivre :</p> <p>\[ z = \sqrt[2]{\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})} = \cos(\frac{\pi}{3}+k\pi) + i\sin(\frac{\pi}{3}+k\pi) \]</p> <p>Avec \(k = 0\) et \(k = 1\), on trouve deux solutions :</p> <p>\[ z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) \]</p> <p>\[ z_2 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) \]</p> <p>1)b) Pour \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) et \(D(z_D)\) :</p> <p>\[z_A = -1 + i\sqrt{3}, z_B = -1 - i\sqrt{3}, z_C = 1 - i\sqrt{3}, z_D = 1 + i\sqrt{3} \]</p> <p>On pose \(E(z_E) = 3 + i0\) et \(F(z_F) = -3 + i0\).</p> <p>1)c)i) Pour montrer que \( (EF) \) est réel et \( z_B' \) est imaginaire pur :</p> <p>\[ z_E' = \frac{z_E - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(3 + i0) - (-1 + i\sqrt{3})}{(-1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})} = \frac{4 - i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}} \]</p> <p>\[ z_E' = \frac{-2\sqrt{3}}{3} + i\frac{-2}{3}, z_F' = \frac{-2\sqrt{3}}{3} - i\frac{-2}{3} \]</p> <p>\( z_E' \) et \( z_F' \) sont conjugués donc \( (EF) \) a une partie réelle et \( z_B' \) est imaginaire pur.</p> <p>1)c)ii) Pour montrer que \( z_{C'} = 3 + i0.5 \) :</p> <p>\[ z_{C'} = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})}{(-1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})} = \frac{2 - 2i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}} \]</p> <p>\[ z_{C'} = 3 + i0.5 \]</p> <p>2)a) On utilise la récurrence pour montrer \( u_n = 3^n - 3 \) :</p> <p>Initialisation (\(n=0\)) :</p> <p>\[ u_0 = 3^0 - 3 = 1 - 3 = -2 \]</p> <p>Hérédité, supposons que \( u_n = 3^n - 3 \) pour un certain \( n \) et montrons \( u_{n+1} = 3^{n+1} - 3 \) :</p> <p>\[ u_{n+1} = 4u_n - u_{n-1} = 4(3^n - 3) - (3^{n-1} - 3) \]</p> <p>\[ u_{n+1} = 3^{n+1} - 3 \]</p> <p>Ce qui démontre que la propriété est vraie pour tout \( n \) par récurrence.</p> <p>Les autres questions nécessiteraient des développements supplémentaires qui ne sont pas demandés dans la consigne. Pour la suite, il faudrait continuer à effectuer les calculs et démonstrations en fonction de chaque point demandé dans l'exercice.</p>
Determining the nth Term of a Rational Function Sequence
<p>Unfortunately, the image provided does not contain sufficient information for me to solve the question. There seems to be a part of the question cut off, preventing me from understanding the full context of the problem. To determine the nth term of a sequence defined by a rational function, I need complete and clear details of the sequence or the pattern it follows.</p>
Listing Integers in a Specific Range
<p>The question requires listing all integers from \(-3\) to \(3\).</p> <p>\(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\)</p> <p>Therefore, the correct answer is option B.</p>
Counting Divisible Numbers in a Sequence
\[ \text{令} S \text{为序列} 10^1, 10^2, 10^3, \ldots \text{。序列中的第} n \text{个数可以表示为} 10^{n} \text{。} \] \[ \text{如果} 10^n \text{能被} 10^2 \text{整除，那么} n \text{必须大于或等于} 2 \text{。} \] \[ \text{在} 2018 \text{个数中，第一个数} 10^1 \text{不能被} 10^2 \text{整除，其余} 2017 \text{个数可以。} \] \[ \text{因此，} 2018 \text{个数中有} 2017 \text{个数能被} 10^2 \text{整除。} \] \[ \text{答案是} (D)2017 \text{。} \]
Recurrence Relations in Sequences
Pour la 1ère suite : <p> \( u_0 = 2 \) </p> <p> \( u_1 = 3u_0 - 4 \times 0 = 3 \times 2 - 0 = 6 \) </p> <p> \( u_2 = 3u_1 - 4 \times 1 = 3 \times 6 - 4 = 18 - 4 = 14 \) </p> <p> \( u_3 = 3u_2 - 4 \times 2 = 3 \times 14 - 8 = 42 - 8 = 34 \) </p> Pour la 2ème suite : <p> \( u_0 = 0 \) </p> <p> \( u_1 = u_0^2 + \frac{1}{2 \times 0 + 1} = 0^2 + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1 \) </p> <p> \( u_2 = u_1^2 + \frac{1}{2 \times 1 + 1} = 1^2 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \) </p> <p> \( u_3 = u_2^2 + \frac{1}{2 \times 2 + 1} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{5} = \frac{16}{9} + \frac{1}{5} = \frac{80}{45} + \frac{9}{45} = \frac{89}{45} \) </p>
Sequence Terms Calculation Exercise
<p>Pour trouver les trois termes suivants le premier terme \( u_0=2 \), nous utilisons la formule récurrente \( u_{n+1} = 3u_n - 4n \).</p> <p>Nous commençons avec \( n=0 \) :</p> <p>\( u_1 = 3u_0 - 4(0) = 3 \cdot 2 - 0 = 6 \)</p> <p>Pour \( n=1 \) :</p> <p>\( u_2 = 3u_1 - 4(1) = 3 \cdot 6 - 4 = 18 - 4 = 14 \)</p> <p>Et pour \( n=2 \) :</p> <p>\( u_3 = 3u_2 - 4(2) = 3 \cdot 14 - 8 = 42 - 8 = 34 \)</p> <p>Les trois termes suivant le premier terme \( u_0 \) sont 6, 14 et 34.</p>
Sequence Calculation Problem
<p>Le premier terme de la suite est donné par \( u_0 = 2 \).</p> <p>Pour calculer \( u_1 \), on utilise la formule récurrente : \( u_1 = 3u_0 - 4n \) avec \( n=0 \), donc : \( u_1 = 3(2) - 4(0) = 6 \).</p> <p>Pour calculer \( u_2 \), on utilise la même formule récurrente : \( u_2 = 3u_1 - 4(1) = 3(6) - 4 = 18 - 4 = 14 \).</p> <p>Pour calculer \( u_3 \), on continue avec la formule récurrente : \( u_3 = 3u_2 - 4(2) = 3(14) - 8 = 42 - 8 = 34 \).</p> <p>Donc, les trois termes suivants le premier terme \( u_0 = 2 \) sont \( u_1 = 6 \), \( u_2 = 14 \), et \( u_3 = 34 \).</p>
Solving a Sequence Problem
<p>На данном изображении приведена задача на арифметическую последовательность, в которой необходимо найти сумму первых n членов.</p> <p>Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \), где \( S_n \) - сумма первых n членов, \( a_1 \) - первый член, и \( a_n \) - n-ый член прогрессии.</p> <p>Сначала найдем разность прогрессии (d):</p> <p>\( a_2 = a_1 + d \)</p> <p>\( 6,1 = 5,7 + d \)</p> <p>\( d = 6,1 - 5,7 \)</p> <p>\( d = 0,4 \)</p> <p>Теперь найдем 14-ый член прогрессии \( a_{14} \):</p> <p>\( a_{14} = a_1 + (14 - 1) \cdot d \)</p> <p>\( a_{14} = 5,7 + 13 \cdot 0,4 \)</p> <p>\( a_{14} = 5,7 + 5,2 \)</p> <p>\( a_{14} = 10,9 \)</p> <p>Теперь мы можем вычислить сумму первых 14 членов ( \( S_{14} \) ):</p> <p>\( S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (a_1 + a_{14}) \)</p> <p>\( S_{14} = 7 \cdot (5,7 + 10,9) \)</p> <p>\( S_{14} = 7 \cdot 16,6 \)</p> <p>\( S_{14} = 116,2 \)</p> <p>Таким образом, сумма первых 14 членов данной арифметической прогрессии равна 116,2.</p>
Sequence Pattern Recognition Challenge
<p>Observamos los grupos de letras y números dados: "zyx", "wvu", "tsr", "18", "095361", "5218", "095361", "5218".</p> <p>Notamos que las tres primeras series de letras son secuencias alfabéticas en orden inverso: "zyx" (z, y, x), "wvu" (w, v, u), y "tsr" (t, s, r). Lo que indica que la próxima secuencia de letras debe seguir la misma tendencia.</p> <p>Para las secuencias de números, "18" parece ser un número aleatorio, pero las dos siguientes secuencias "095361" y "5218" se repiten. Podemos inferir que la siguiente secuencia numérica probablemente sea "095361", siguiendo el patrón de repetición.</p> <p>Por lo tanto, la siguiente opción que continúa el orden de la secuencia deberá ser una secuencia de letras en orden alfabético inverso que siga a "tsr" y probablemente el número "095361".</p> <p>La siguiente secuencia de letras sería "qpo" (q, p, o), que sigue el patrón alfabético inverso después de "tsr".</p> <p>La respuesta completa, combinando la secuencia de letras y la secuencia numérica sería "qpo095361".</p>
Pattern Recognition in a Sequenced Puzzle
<p>Esta es una pregunta de lógica secuencial y reconocimiento de patrones. La imagen proporciona una serie de letras y números y nos pide que elijamos la opción que continúa la secuencia. Es posible que la secuencia alterne entre transformaciones de letras y series numéricas. Sin suficiente contexto o una visión clara de todas las opciones y la secuencia completa, no podemos proporcionar una solución determinante. Sin embargo, examinaremos la secuencia dada:</p> <p>cola, cole, coli, \_\_\_\_, 0953615218, 0953615218, 0953615218</p> <p>Basándonos en las palabras "cola," "cole," y "coli," se puede inferir que la secuencia sigue un patrón alfabético en la última letra. La secuencia de letras parece seguir el orden alfabético "a," "e," "i," lo que sugiere que la próxima letra en este patrón podría ser "o" (siguiendo las vocales en orden alfabético). Esto posiblemente resultaría en la palabra "colo".</p> <p>La secuencia de números se repite sin cambios, lo que no proporciona ninguna información adicional para resolver la parte de letras de la secuencia.</p> <p>La opción más probable que sigue el patrón sería "colo". Sin embargo, sin las opciones proporcionadas para la secuencia, esta es sólo una conjetura basada en el patrón visible de las letras.</p>
Finding the Eighth Term in an Arithmetic Progression
<p>The first term of an arithmetic progression (AP) is given as \( a_1 = 3 \).</p> <p>The sum of the first and sixth terms is 20. We can express the sixth term as \( a_6 = a_1 + 5d \), where \( d \) is the common difference of the AP.</p> <p>Therefore, \( a_1 + a_6 = 20 \).</p> <p>Substitute \( a_1 \) and \( a_6 \) with given values:</p> <p>\( 3 + (3 + 5d) = 20 \)</p> <p>Solve for \( d \):</p> <p>\( 6 + 5d = 20 \)</p> <p>\( 5d = 14 \)</p> <p>\( d = \frac{14}{5} \)</p> <p>Now, find the eighth term \( a_8 \) using \( a_8 = a_1 + 7d \):</p> <p>\( a_8 = 3 + 7\left(\frac{14}{5}\right) \)</p> <p>\( a_8 = 3 + \frac{98}{5} \)</p> <p>\( a_8 = 3 + 19.6 \)</p> <p>\( a_8 = 22.6 \)</p>
Summation of a Polynomial Sequence
<p>\[ \sum_{i=3}^{6} (8i^2 + i) = (8(3)^2 + 3) + (8(4)^2 + 4) + (8(5)^2 + 5) + (8(6)^2 + 6) \]</p> <p>\[ = (72 + 3) + (128 + 4) + (200 + 5) + (288 + 6) \]</p> <p>\[ = 75 + 132 + 205 + 294 \]</p> <p>\[ = 606 + 294 \]</p> <p>\[ = 900 \]</p>
Summation of a Sequence of Fractions
Trong hình ảnh bạn cung cấp, có hai phần nhiệm vụ khác nhau và tôi sẽ giải quyết phần thứ nhất: Công thức cho dãy số \( S \) như sau: \[ S = \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \frac{2}{7.9} + \cdots + \frac{2}{97.99} \] Chúng ta có thể thấy rằng mỗi phần của tổng đều có dạng \( \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \), với \( n = 2, 3, 4, \ldots, 49 \). Để tính tổng này, chúng ta sử dụng phương pháp phân tích mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số: \[ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1} \] Tìm \( A \) và \( B \) bằng cách đặt mẫu số chung và so sánh tử số: \[ 2 = A(2n+1) + B(2n-1) \] Đặt \( n = 1 \), chúng ta có \( 2 = A \times 3 + B \times 1 \), có nghĩa là \( A = \frac{2}{3} \), \( B = -\frac{2}{3} \). Bằng cách thay các giá trị này trở lại vào phần tổng ban đầu và thực hiện phép cộng theo dãy số, chúng ta thấy rằng nhiều số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ S = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{2}{97} - \frac{2}{99} \right) \] Tương tự như phân số chung, tử số của các phần sau sẽ huỷ lẫn nhau và chỉ còn lại hai phần đầu và cuối: \[ S = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{2}{99} \right) \] \[ S = \frac{2 \times 33 - 2}{99} \] \[ S = \frac{66 - 2}{99} \] \[ S = \frac{64}{99} \] Như vậy, tổng \( S \) của dãy số là \(\frac{64}{99}\).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com