Question - Counting Divisible Numbers in a Sequence

首先我们需要明白题目问的是在序列101,1001,10001,100001,...中，前2018个数有多少个能被\(10^{17}\)整除。

我们可以观察到序列中的数都是由1后面跟着一定数量的0构成的，也就是说，他们都是10的幂加1。也就是说，这个数可以写成\(10^{n} + 1\)的形式，其中\(n\)是从2开始的连续整数。

现在我们可以将问题转化为：找出从\(10^{2} + 1\)到\(10^{2019} + 1\)中，有多少个数是\(10^{17}\)的倍数。

要使\(10^{n} + 1\)能被\(10^{17}\)整除，首先\(10^{n}\)必须被\(10^{17}\)整除，这意味着\(n\)必须是17的倍数。然而，由于还加了1，我们需要找出当\(n\)为17的倍数时，这个加1不会影响\(10^{n} + 1\)能否被\(10^{17}\)整除。

也就是说，\(n\)必须满足两个条件：一是\(n\)是17的倍数，二是\(10^{n}\)除以\(10^{17}\)的余数要为\(10^{17} - 1\)。

由于10的任意次幂除以\(10^{17}\)的余数始终是0，所以第二个条件简化为\(1\)除以\(10^{17}\)的余数为\(10^{17} - 1\)，这显然不可能。所以我们需要重新考虑问题。

事实上，第二个条件意味着\(10^{n}\)要被\(10^{17}\)除尽，即\(n\)至少为17。而因为此时\(1\)无法被\(10^{17}\)除尽，所以实际上，当\(n\)为17的倍数时，\(10^{n} + 1\)始终不能被\(10^{17}\)整除。

所以，题目中的序列实际上一个数都不能被\(10^{17}\)整除。我们已经得出\(0\)是答案，但是此答案并没有在给出的选项中，所以我们需要检查一下以上推理是否正确。

仔细检查我们之前的推理后发现，我们忽略了一个重要的点，在\(10^{n}\)的右边加1后会改变被\(10^{17}\)除的结果。对于这样的一个数\(10^{n} + 1\)，当且仅当\(n\)是17时，它才是\(10^{17}\)的倍数。因为仅在这种情况下，这个数字变成\(10^{17} + 1\)，它显然是\(10^{17}\)的倍数。

由于\(n\)是从2开始的连续整数，我们可以计算出当\(n = 17 + 17k\)时（\(k\)是非负整数），\(10^{n} + 1\)将是\(10^{17}\)的倍数。因此，问题变成了要找出在\(n = 17\)到\(n = 2019\)的范围内，有多少个符合\(n = 17 + 17k\)形式的数。

用2019减去这个序列的起始点17，然后除以17，得到： \[ \frac{2019-17}{17} = \frac{2002}{17} = 117...9 \] 这意味着在2019和17之间有117个符合条件的数。但因为我们的计数是从2开始的，并包括了2，所以我们需要在结果上加1。

因此，满足条件的数的总数为117 + 1 = 118。重新检查选项，我们发现答案(E)1109是不可能的，这是一个错误。实际答案应该是118，因为每17个数中就有一个数能被\(10^{17}\)整除。但是，因为这个选项并不在给出的选项当中，题目似乎存在错误。

综上，我们正确的解答应该是没有一个数能被\(10^{17}\)整除，但是这个答案在给定的选项中没有。因此，我们可以得出结论可能是题目出现了印刷错误，或者我们没有完全理解题意。在现实情况下，我们可能需要询问你的老师或者阅读题目的原始材料来确认。