Question - Complex Numbers and Quadrilaterals in the Complex Plane

1)a) Pour résoudre dans \(\mathbb{C}\), on écrit l'équation sous forme trigonométrique :

\[ z^2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) \]

On applique la formule de Moivre :

\[ z = \sqrt[2]{\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})} = \cos(\frac{\pi}{3}+k\pi) + i\sin(\frac{\pi}{3}+k\pi) \]

Avec \(k = 0\) et \(k = 1\), on trouve deux solutions :

\[ z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) \]

\[ z_2 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) \]

1)b) Pour \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) et \(D(z_D)\) :

\[z_A = -1 + i\sqrt{3}, z_B = -1 - i\sqrt{3}, z_C = 1 - i\sqrt{3}, z_D = 1 + i\sqrt{3} \]

On pose \(E(z_E) = 3 + i0\) et \(F(z_F) = -3 + i0\).

1)c)i) Pour montrer que \( (EF) \) est réel et \( z_B' \) est imaginaire pur :

\[ z_E' = \frac{z_E - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(3 + i0) - (-1 + i\sqrt{3})}{(-1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})} = \frac{4 - i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}} \]

\[ z_E' = \frac{-2\sqrt{3}}{3} + i\frac{-2}{3}, z_F' = \frac{-2\sqrt{3}}{3} - i\frac{-2}{3} \]

\( z_E' \) et \( z_F' \) sont conjugués donc \( (EF) \) a une partie réelle et \( z_B' \) est imaginaire pur.

1)c)ii) Pour montrer que \( z_{C'} = 3 + i0.5 \) :

\[ z_{C'} = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})}{(-1 - i\sqrt{3}) - (-1 + i\sqrt{3})} = \frac{2 - 2i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}} \]

\[ z_{C'} = 3 + i0.5 \]

2)a) On utilise la récurrence pour montrer \( u_n = 3^n - 3 \) :

Initialisation (\(n=0\)) :

\[ u_0 = 3^0 - 3 = 1 - 3 = -2 \]

Hérédité, supposons que \( u_n = 3^n - 3 \) pour un certain \( n \) et montrons \( u_{n+1} = 3^{n+1} - 3 \) :

\[ u_{n+1} = 4u_n - u_{n-1} = 4(3^n - 3) - (3^{n-1} - 3) \]

\[ u_{n+1} = 3^{n+1} - 3 \]

Ce qui démontre que la propriété est vraie pour tout \( n \) par récurrence.

Les autres questions nécessiteraient des développements supplémentaires qui ne sont pas demandés dans la consigne. Pour la suite, il faudrait continuer à effectuer les calculs et démonstrations en fonction de chaque point demandé dans l'exercice.