Example Question - quadratic equations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Coefficients of Quadratic Expressions
<p>For the expression \(2x^2 - 5x + 1\), we identify the coefficients as follows:</p> <p><b>a = 2</b></p> <p><b>b = -5</b></p> <p><b>c = 1</b></p> <p>For the expression \(x^2 - 2x\), we identify the coefficients as:</p> <p><b>a = 1</b></p> <p><b>b = -2</b></p> <p><b>c = 0</b></p>
Solving Quadratic Equations
<p>Para resolver las ecuaciones cuadráticas se pueden utilizar distintos métodos como factorización, completar el cuadrado o la fórmula cuadrática. En este caso, aplicaremos la fórmula cuadrática \( x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \) para cada ecuación dado que no todos los términos son fácilmente factorizables.</p> <p>a) \( x^2 + 2x + 10 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = 2, c = 10:</p> <p>\( x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}}}{{2 \cdot 1}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{-36}}}}{{2}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-2 \pm 6i}}{2} \)</p> <p>\( x = -1 \pm 3i \)</p> <p>b) \( x^2 + 4x + 29 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = 4, c = 29:</p> <p>\( x = \frac{{-4 \pm \sqrt{{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}}}{{2 \cdot 1}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-4 \pm \sqrt{{-84}}}}{2} \)</p> <p>\( x = -2 \pm 2\sqrt{21}i \)</p> <p>c) \( x^2 - 6x + 13 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = -6, c = 13:</p> <p>\( x = \frac{{6 \pm \sqrt{{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}}}{{2 \cdot 1}} \)</p> <p>\( x = \frac{{6 \pm \sqrt{{36 - 52}}}}{2} \)</p> <p>\( x = \frac{{6 \pm \sqrt{{-16}}}}{2} \)</p> <p>\( x = 3 \pm 2i \)</p> <p>d) \( 2x^2 + 12x + 68 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 2, b = 12, c = 68:</p> <p>\( x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 68}}}}{{2 \cdot 2}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{144 - 544}}}}{4} \)</p> <p>\( x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{-400}}}}{4} \)</p> <p>\( x = -3 \pm 5i \)</p> <p>e) \( 23 + 6x + x^2 = 0 \) (Reordenamos la ecuación para que tenga la forma estándar)</p> <p>\( x^2 + 6x + 23 = 0 \)</p> <p>Usamos la fórmula cuadrática donde a = 1, b = 6, c = 23:</p> <p>\( x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}}}{{2 \cdot 1}} \)</p> <p>\( x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{36 - 92}}}}{2} \)</p> <p>\( x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{-56}}}}{2} \)</p> <p>\( x = -3 \pm 2\sqrt{14}i \)</p>
Solving Quadratic Equations with Coefficients
La ecuación que se muestra en la imagen es una ecuación cuadrática y se ve así: \[ 2x^2 - 4x + 1 = 0 \] Para resolver esta ecuación cuadrática, se puede utilizar la fórmula general para las raíces de una ecuación cuadrática, la cual es: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] En donde \( a \), \( b \) y \( c \) son los coeficientes de la ecuación cuadrática. En este caso, tenemos que \( a = 2 \), \( b = -4 \), y \( c = 1 \). Primero calculamos el discriminante (\( \Delta \)), que es \( b^2 - 4ac \): \[ \Delta = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8 \] Ahora usamos la fórmula general para encontrar los valores de \( x \): \[ x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{8}}}{{2(2)}} \] \[ x = \frac{{4 \pm \sqrt{8}}}{{4}} \] \[ x = \frac{{4 \pm 2\sqrt{2}}}{{4}} \] Podemos simplificar dividiendo numerador y denominador entre 2: \[ x = \frac{{2 \pm \sqrt{2}}}{{2}} \] De aquí obtenemos dos soluciones para la ecuación: \[ x_1 = \frac{{2 + \sqrt{2}}}{2} \] \[ x_2 = \frac{{2 - \sqrt{2}}}{2} \] Estas son las dos soluciones de la ecuación cuadrática dada.
Identifying a Parabolic Equation with Given Characteristics
The image contains a question asking which equation represents a parabola that opens upward, has a minimum value of 3, and has an axis of symmetry at \( x = -3 \). The options provided are four quadratic equations: A. \( f(x) = -(x + 3)^2 + 3 \) B. \( f(x) = (x - 3)^2 + 6 \) C. \( f(x) = (x + 3)^2 - 6 \) D. \( f(x) = (x + 3)^2 + 3 \) A parabola that opens upward will have the square term with a positive coefficient. Options B, C, and D all have the square term with a positive coefficient, and thus they represent parabolas that open upward. Option A is incorrect because the negative sign in front would make the parabola open downward. Regarding the axis of symmetry, it is determined by the \( h \) in the vertex form of a parabola \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), where \( (h, k) \) is the vertex of the parabola. The axis of symmetry is x = h. So in this case, we need \( h = -3 \). Options C and D both have \( x + 3 \), which can be written as \( x - (-3) \), indicating that the axis of symmetry is at \( x = -3 \), which meets the axis of symmetry criteria. Lastly, the parabola has a minimum value of 3, which means that the vertex is at \( (h, k) = (-3, 3) \). So we want the constant term (after completing the square) to be 3. Only option D has a constant term of +3. The correct answer based on all these conditions is: D. \( f(x) = (x + 3)^2 + 3 \) This equation represents a parabola that opens upward, has its vertex and therefore its minimum value at 3, and has an axis of symmetry at \( x = -3 \).
Solving Quadratic Equations with Formula
Claro, resolveremos la ecuación cuadrática que aparece en la imagen, que es \(2x^2 + 5x + 3 = 0\). Para resolver esta ecuación, podemos utilizar la fórmula cuadrática: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Donde \(a\), \(b\), y \(c\) son los coeficientes de los términos cuadráticos, lineales e independientes, respectivamente, de nuestra ecuación. En nuestra ecuación, \(a = 2\), \(b = 5\), y \(c = 3\). Primero calculamos el discriminante (\(b^2 - 4ac\)): \[\begin{align*} b^2 - 4ac &= 5^2 - 4(2)(3) \\ &= 25 - 24 \\ &= 1 \end{align*}\] Como el discriminante es positivo, habrá dos soluciones reales y distintas. Ahora utilizamos la fórmula cuadrática para encontrar los valores de \(x\): \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-5 \pm 1}{4} \] Ahora calculamos los dos valores posibles para \(x\): 1) Tomando el signo positivo: \[ x = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] 2) Tomando el signo negativo: \[ x = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5 \] Entonces, las dos soluciones para la ecuación cuadrática son \(x = -1\) y \(x = -1.5\).
Solving a Logarithmic Inequality with Quadratic Equations
Đề bài này yêu cầu giải bất phương trình sau: \[ \log_{2}(x^2 - 4x - 5) < 4 \] Để giải bất phương trình này, ta làm như sau: Trước tiên, đặt điều kiện để biểu thức trong logarit có nghĩa: \[ x^2 - 4x - 5 > 0 \] Giải phương trình bậc hai này ta có: \[ (x-5)(x+1) > 0 \] Điều này cho ta các khoảng nghiệm là \( x \in (-\infty, -1) \) hoặc \( x \in (5, +\infty) \). Tiếp theo, ta giải bất phương trình ban đầu: \[ \log_{2}(x^2 - 4x - 5) < 4 \] Áp dụng định nghĩa của logarit, ta có: \[ x^2 - 4x - 5 < 2^4 \] \[ x^2 - 4x - 5 < 16 \] \[ x^2 - 4x - 21 < 0 \] Giải phương trình bậc hai \(x^2 - 4x - 21 = 0\) sẽ tìm được các nghiệm là: \[ (x - 7)(x + 3) = 0 \] Vì vậy, các nghiệm của phương trình là \( x = 7 \) và \( x = -3 \). Từ đó ta có khoảng nghiệm của bất phương trình \( x^2 - 4x - 21 < 0 \) là \( x \in (-3, 7) \). Bây giờ, ta kết hợp điều kiện của biểu thức logarit và nghiệm của bất phương trình, ta có nghiệm cuối cùng của bất phương trình ban đầu là: \[ x \in (5, 7) \] Vậy nghiệm của bất phương trình là \( x \in (5, 7) \).
Solving a System of Equations Involving Square Roots
Dựa trên hình ảnh bạn cung cấp, ta có hai phương trình và cần giải hệ phương trình để tìm hai số x và y. Phần a của bài toán được viết như sau: a) \[\begin{cases} 3x - 5y = \sqrt{y} \\ x + y = 40 \end{cases}\] Để giải hệ phương trình điều kiện chứa căn, ta cần biến đổi để đưa về dạng phương trình không chứa căn để giải. Tuy nhiên, để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Cụ thể ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Từ phương trình thứ hai \(x + y = 40\), ta có thể biểu diễn x hoặc y theo biến còn lại. Giả sử chọn biểu diễn x qua y, ta có: \[x = 40 - y\] Bước 2: Thay x từ phương trình \(x = 40 - y\) vào phương trình thứ nhất để có một phương trình đơn biến theo y: \[3(40 - y) - 5y = \sqrt{y}\] \[120 - 3y - 5y = \sqrt{y}\] \[120 - 8y = \sqrt{y}\] Bước 3: Để giải phương trình này, ta đưa về dạng bình phương hai vế để giải quyết căn thức: \[(120 - 8y)^2 = y\] \[14400 - 1920y + 64y^2 = y\] \[64y^2 - 1921y + 14400 = 0\] Bước 4: Ta cần giải phương trình bậc hai này để tìm ra giá trị của y. Đối với phương trình bậc hai, nếu ta tìm được nghiệm thông qua phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm tổng quát, ta có thể tìm được giá trị y thỏa mãn. Bước 5: Sau khi tìm được y, ta sẽ thay giá trị y vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm x. Do phương trình này khá phức tạp để giải một cách thủ công, bước tiếp theo ta có thể cần sử dụng máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học để tìm nghiệm chính xác. Ta cần kiểm tra nghiệm để đảm bảo nó thỏa mãn điều kiện căn bậc hai phải không âm. Ở đây, ta cần \(y \geq 0\) vì trong phương trình có \(\sqrt{y}\). Lưu ý: Khi ta bình phương hai vế của một phương trình, ta có thể giới thiệu nghiệm giả, nên cần phải thay lại các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra.
Solving Equations in the Provided Image
Tôi sẽ hướng dẫn bạn giải các phương trình trong hình ảnh bạn cung cấp. Chúng ta sẽ làm từng câu một. **Câu 1:** Giải các bất phương trình sau: a) \(2x^2 - 5x + 2 < 0\) Ta tìm nghiệm của phương trình \(2x^2 - 5x + 2 = 0\). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 2\) Delta (\(\Delta\)) được tính bằng \(b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\) Nghiệm của phương trình là: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = 2\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\) Vì hệ số \(a = 2 > 0\) nên parabol hướng lên trên. Như vậy, bất phương trình \(2x^2 - 5x + 2 < 0\) có nghiệm là \(x \in \left( \frac{1}{2}, 2 \right)\). b) \(\sqrt{x + 2} - 12 = 8 - x\) Đặt điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho căn thức bên trái là \(x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2\) Giải phương trình: \(\sqrt{x + 2} = 20 - x\) Bình phương hai vế của phương trình ta được: \(x + 2 = (20 - x)^2\) Tiếp tục giải phương trình bậc hai này: \(x^2 - 40x + 398 = 0\) Sử dụng công thức nghiệm ta có: Delta (\(\Delta\)) = \(b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 398 = 1600 - 1592 = 8\) Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_1 = \frac{40 + \sqrt{8}}{2} = 20 + \sqrt{2}\) \(x_2 = \frac{40 - \sqrt{8}}{2} = 20 - \sqrt{2}\) Kiểm tra lại với ĐKXĐ, cả hai nghiệm đều thỏa mãn. Như vậy, nghiệm của phương trình ban đầu là \(x_1 = 20 + \sqrt{2}\) và \(x_2 = 20 - \sqrt{2}\). **Chú ý:** Phần còn lại của các câu hỏi không được giải trong lần trả lời này. Nếu bạn cần giải các câu hỏi khác, xin vui lòng yêu cầu mỗi lần một câu để có thể giải thích một cách chi tiết và rõ ràng.
Solving Quadratic Equations with Quadratic Formula
To solve the quadratic equation \( a(a - 3) = -1 \), you need to first expand the equation and then solve for \( a \). Step 1: Expand the left side of the equation: \( a \cdot a = a^2 \) \( a \cdot (-3) = -3a \) So, the expanded form is: \( a^2 - 3a \) Step 2: Bring all terms to one side to set the quadratic equation equal to zero: \( a^2 - 3a + 1 = 0 \) Step 3: Solve the quadratic equation. This can be done using the quadratic formula \( a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), where in our equation, \( a = 1 \), \( b = -3 \), and \( c = 1 \). The quadratic formula gives: \( a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \) \( a = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} \) \( a = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \) So the solutions are: \( a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \) or \( a = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \)
Factoring Trinomials
The question is asking to factor the trinomial \(2x^2 + 11x + 14\). To factor it, one of the methods is to look for two numbers that both add up to the coefficient of the \(x\) term (which is 11 in this case) and multiply to the product of the coefficient of \(x^2\) term and the constant term (which is \(2 \times 14 = 28\)). So, we need two numbers that add up to 11 and multiply to 28. These two numbers are 4 and 7, because: \[4 + 7 = 11\] \[4 \times 7 = 28\] Now we can rewrite the middle term (11x) using 4 and 7: \[2x^2 + 4x + 7x + 14\] Next, let's factor by grouping: \[2x(x + 2) + 7(x + 2)\] Now, we can take out the common factor \((x + 2)\): \[(2x + 7)(x + 2)\] Therefore, the factored form of \(2x^2 + 11x + 14\) is \((2x + 7)(x + 2)\).
Understanding Quadratic Equations
An equation that can be written in the form \( ax^2 + bx + c = 0 \) (with \( a \neq 0 \)) is called a quadratic equation.
Solving Quadratic Equations with Complex Solutions
The equation given in the image is a quadratic equation of the form: \[ 2x^2 - 4x + 4 = 0 \] We can solve this equation by either factoring, completing the square, or using the quadratic formula. This equation does not factor easily, so we'll use the quadratic formula: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] For the given equation, \(a = 2\), \(b = -4\), and \(c = 4\). Plugging these values into the quadratic formula: \[ x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{{(-4)^2 - 4(2)(4)}}}}{{2(2)}} \] \[ x = \frac{{4 \pm \sqrt{{16 - 32}}}}{{4}} \] \[ x = \frac{{4 \pm \sqrt{{-16}}}}{{4}} \] Since we have a negative number under the square root, the solutions will be complex numbers. We continue: \[ x = \frac{{4 \pm 4i}}{{4}} \] Simplifying further, we divide both terms in the numerator by the denominator: \[ x = 1 \pm i \] The solutions to the quadratic equation are: \[ x = 1 + i \quad \text{and} \quad x = 1 - i \] Here, \(i\) is the imaginary unit, where \(i^2 = -1\).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com