Question - Solving a Logarithmic Inequality with Quadratic Equations
Solution:
Đề bài này yêu cầu giải bất phương trình sau:$$\log_{2}(x^2 - 4x - 5) < 4$$Để giải bất phương trình này, ta làm như sau:Trước tiên, đặt điều kiện để biểu thức trong logarit có nghĩa:$$x^2 - 4x - 5 > 0$$Giải phương trình bậc hai này ta có:$$(x-5)(x+1) > 0$$Điều này cho ta các khoảng nghiệm là $$ x \in (-\infty, -1) $$ hoặc $$ x \in (5, +\infty) $$.Tiếp theo, ta giải bất phương trình ban đầu:$$\log_{2}(x^2 - 4x - 5) < 4$$Áp dụng định nghĩa của logarit, ta có:$$x^2 - 4x - 5 < 2^4$$$$x^2 - 4x - 5 < 16$$$$x^2 - 4x - 21 < 0$$Giải phương trình bậc hai $$x^2 - 4x - 21 = 0$$ sẽ tìm được các nghiệm là:$$(x - 7)(x + 3) = 0$$Vì vậy, các nghiệm của phương trình là $$ x = 7 $$ và $$ x = -3 $$. Từ đó ta có khoảng nghiệm của bất phương trình $$ x^2 - 4x - 21 < 0 $$ là $$ x \in (-3, 7) $$.Bây giờ, ta kết hợp điều kiện của biểu thức logarit và nghiệm của bất phương trình, ta có nghiệm cuối cùng của bất phương trình ban đầu là:$$x \in (5, 7)$$Vậy nghiệm của bất phương trình là $$ x \in (5, 7) $$.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com