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Example Question - parabola

Here are examples of questions we've helped users solve.

Finding the Vertex of a Quadratic Function

Para encontrar el vértice de la función cuadrática \( f(x) = 2x^2 - 8x \), podemos usar la fórmula del vértice para una parábola de la forma \( ax^2 + bx + c \), donde el vértice está dado por \( h = -\frac{b}{2a} \). En este caso, \( a = 2 \) y \( b = -8 \). Sustituyendo estos valores en la fórmula: \( h = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \) Para encontrar el valor de \( k \), el cual es el valor de \( f(x) \) en \( h \): \( k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) = 2 \cdot 4 - 16 = 8 - 16 = -8 \) Así, el vértice de la parábola es \( (h, k) = (2, -8) \).

Finding the Vertex of a Quadratic Function

Para encontrar el vértice de una función cuadrática de la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \), podemos usar la fórmula del vértice \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). La función dada es \( f(x) = 12x - 2x^2 \), que se puede reescribir como \( f(x) = -2x^2 + 12x \). Comparando con la forma estándar \( ax^2 + bx + c \), tenemos \( a = -2 \), \( b = 12 \), y \( c = 0 \). Usamos la fórmula del vértice para encontrar la coordenada x del vértice: \( -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3 \). Para encontrar la coordenada y del vértice, substituimos \( x \) con \( 3 \) en la función \( f(x) \): \( f(3) = -2(3)^2 + 12(3) = -2(9) + 36 = -18 + 36 = 18 \). Por lo tanto, el vértice de la función cuadrática es \( (3, 18) \).

Finding the Vertex of a Quadratic Function

La función cuadrática dada es \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). Para encontrar el vértice de una función cuadrática en la forma \( y = ax^2 + bx + c \), usamos la fórmula para \( x \) del vértice \( x_v = \frac{-b}{2a} \). Sustituimos \( a = 1 \) y \( b = -4 \) en la fórmula: \[ x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Ahora, encontramos el valor de \( y \) sustituyendo \( x_v \) en la ecuación original: \[ f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] Por lo tanto, el vértice de la función cuadrática es \( (2, -1) \).

Graphing and Analyzing Parabolas

Para la función \( f(x) = 2x^2 - 6x + 4 \), necesitamos determinar la orientación, el eje de simetría, el vértice, los ceros (si los hay), las intercepciones con los ejes, el dominio y el recorrido. Primero, encontramos la fórmula del eje de simetría de una parábola de la forma \( ax^2+bx+c \), que es \( x = -\frac{b}{2a} \). \( x = -\frac{-6}{2(2)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) El eje de simetría es: \( x = \frac{3}{2} \) El vértice de la parábola está en el eje de simetría, así que sustituimos \( x \) por \( \frac{3}{2} \) en \( f(x) \) para encontrar el valor de \( y \) en el vértice. \( f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^2 - 6(\frac{3}{2}) + 4 \) \( f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{9}{4}) - 9 + 4 \) \( f(\frac{3}{2}) = \frac{18}{4} - \frac{36}{4} + \frac{16}{4} \) \( f(\frac{3}{2}) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \) Entonces, el vértice es: \( V(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}) \) Dado que el coeficiente de \( x^2 \) es positivo, la parábola se abre hacia arriba: Orientación: Hacia arriba Para encontrar los ceros, debemos resolver \( 2x^2 - 6x + 4 = 0 \). Podemos utilizar la fórmula cuadrática o factorizar si es posible. La fórmula cuadrática es \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). \( x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)} \) \( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{4} \) \( x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{4} \) \( x = \frac{6 \pm 2}{4} \) Esto nos da dos ceros: \( x = \frac{8}{4} = 2 \) y \( x = \frac{4}{4} = 1 \) Los ceros son: \( x = 1 \) y \( x = 2 \) El dominio de cualquier parábola es todos los números reales: Dominio: \( (-\infty, \infty) \) El recorrido, dado que la parábola se abre hacia arriba y el vértice es el punto más bajo, será de \( y \) en el vértice (mínimo \( y \)) hasta infinito. Recorrido: \( [-\frac{1}{2}, \infty) \) Las intercepciones con los ejes \( x \) son los ceros: \( (1,0) \) y \( (2,0) \) Para el intercepto con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \): \( f(0) = 2(0)^2 - 6(0) + 4 = 4 \) Intercepto en \( y \): \( (0,4) \)

Analysis of Parabolic Functions

Para la función \( y = 2x^2 - 8x + 4 \): Eje de simetría: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{4} = 2 \) Vértice: Sustituir \( x = 2 \) en la ecuación para obtener \( y \). Entonces \( y = 2(2)^2 - 8(2) + 4 = 8 - 16 + 4 = -4 \). Entonces el vértice es \( (2, -4) \). Intercepto y: Cuando \( x = 0 \), \( y = 4 \). Ceros: Factorizar o usar la fórmula cuadrática si es necesario. \( 2x^2 - 8x + 4 = 0 \). Utilizando factorización: \( 2(x^2 - 4x + 2) = 0 \). Esta ecuación no se factoriza con números enteros, por lo tanto, se aplica la fórmula cuadrática: \( x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2-4(2)(4)}}{2(2)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{4} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{4} = 2 \pm \sqrt{2} \). Dominio: Todos los valores reales de \( x \). Recorrido: Dado que \( a > 0 \), la parábola se abre hacia arriba y el recorrido es \( y \geq -4 \). Para la función \( y = -2x^2 - 4 \): Eje de simetría: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{0}{-4} = 0 \). Vértice: Sustituir \( x = 0 \) en la ecuación para obtener \( y \). Entonces \( y = -2(0)^2 - 4 = -4 \). Entonces el vértice es \( (0, -4) \). Intercepto y: Cuando \( x = 0 \), \( y = -4 \). Ceros: Factorizar o usar la fórmula cuadrática si es necesario. \( -2x^2 - 4 = 0 \). Factorizar: \( -2(x^2 + 2) = 0 \). Esta ecuación no tiene soluciones reales porque la suma de un cuadrado y un número positivo nunca puede ser cero, así que no hay ceros. Dominio: Todos los valores reales de \( x \). Recorrido: Dado que \( a < 0 \), la parábola se abre hacia abajo y el recorrido es \( y \leq -4 \).

Analysis of Parabola Characteristics

La imagen proporciona dos funciones cuadráticas para analizar sus características. Vamos a determinar estas características para la primera función \( f(x) = 2x^2 - 6x - 4 \). Para encontrar la orientación de la parábola, observamos el coeficiente líder \(a\). Si \( a > 0 \), la parábola se abre hacia arriba. Si \( a < 0 \), se abre hacia abajo. En nuestro caso, \( a = 2 \), por lo que la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría de una parábola se encuentra en \( x = -\frac{b}{2a} \). Sustituimos \( a = 2 \), \( b = -6 \) para obtener \( x = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2} \). El vértice de la parábola se encuentra en el punto \( (\frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a})) \). Calculamos \( f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^2 - 6(\frac{3}{2}) - 4 \). El vértice es \( (\frac{3}{2}, -\frac{25}{4}) \). El intercepto en x son los ceros de la función, donde \( f(x) = 0 \). Resolvemos \( 2x^2 - 6x - 4 = 0 \) usando la fórmula cuadrática o factorización para encontrar los ceros. El intercepto en y es \( f(0) \), es decir, \( -4 \). El dominio de cualquier función cuadrática es \( (-\infty, \infty) \). El recorrido (rango) depende de la orientación de la parábola. Como se abre hacia arriba, el rango es \( [f(\frac{-b}{2a}), \infty) \), es decir, \( [-\frac{25}{4}, \infty) \). Este es un análisis completo para la primera función. Para la segunda función, se seguiría un proceso similar.

Quadratic Function Table Completion

Para completar la tabla, sustituiremos cada valor de \( x \) en la función cuadrática \( f(x) = x^2 - 8x + 7 \) y resolveremos para \( f(x) \). Para \( x = 0 \): \( f(0) = (0)^2 - 8(0) + 7 = 0 - 0 + 7 = 7 \) Para \( x = 1 \): \( f(1) = (1)^2 - 8(1) + 7 = 1 - 8 + 7 = 0 \) Para \( x = 2 \): \( f(2) = (2)^2 - 8(2) + 7 = 4 - 16 + 7 = -5 \) Para \( x = 3 \): \( f(3) = (3)^2 - 8(3) + 7 = 9 - 24 + 7 = -8 \) Para \( x = 4 \): \( f(4) = (4)^2 - 8(4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \) Para \( x = 5 \): \( f(5) = (5)^2 - 8(5) + 7 = 25 - 40 + 7 = -8 \) Para \( x = 6 \): \( f(6) = (6)^2 - 8(6) + 7 = 36 - 48 + 7 = -5 \) La tabla completa sería: \[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 7 \\ 1 & 0 \\ 2 & -5 \\ 3 & -8 \\ 4 & -9 \\ 5 & -8 \\ 6 & -5 \\ 7 & 0 \\ 8 & 7 \\ \end{array} \]

Quadratic Function Equation Calculation from Graph

To find the equation of the quadratic function g whose graph is shown, we will use the vertex form of a quadratic function, which is: \[ g(x) = a(x - h)^2 + k \] where (h, k) is the vertex of the parabola, and 'a' is a coefficient that determines the width and direction (upward or downward) of the parabola. From the graph, we can see that the vertex of the parabola is at (-4, 2). Therefore, h = -4 and k = 2. To find 'a', we need another point on the graph. We can use the point (-5, 0), which is one of the x-intercepts. Now, substitute h, k, and the coordinates of the point (-5, 0) into the vertex form and solve for a: \[ 0 = a(-5 - (-4))^2 + 2 \] \[ 0 = a(-5 + 4)^2 + 2 \] \[ 0 = a(1)^2 + 2 \] \[ 0 = a + 2 \] \[ a = -2 \] So the coefficient 'a' is -2. Now we can write the complete equation of the function: \[ g(x) = -2(x - (-4))^2 + 2 \] \[ g(x) = -2(x + 4)^2 + 2 \] That is the equation of the quadratic function g whose graph is shown in the image.

Finding the Axis of Symmetry of a Parabola

Para encontrar el eje de simetría de una parábola representada por una función cuadrática de la forma \( ax^2 + bx + c \), utilizamos la fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \). En tu caso, la función cuadrática es \( -x^2 + 8x - 5 \). Aquí, \( a = -1 \) y \( b = 8 \). Sustituimos los valores de \( a \) y \( b \) en la fórmula para el eje de simetría: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4 \). Por lo tanto, el eje de simetría de la parábola dada por la función \( -x^2 + 8x - 5 \) es \( x = 4 \).