Question - Graphing and Analyzing Parabolas
Solution:
\( x = -\frac{-6}{2(2)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
El eje de simetría es:\( x = \frac{3}{2} \)
El vértice de la parábola está en el eje de simetría, así que sustituimos \( x \) por \( \frac{3}{2} \) en \( f(x) \) para encontrar el valor de \( y \) en el vértice.\( f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^2 - 6(\frac{3}{2}) + 4 \)
\( f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{9}{4}) - 9 + 4 \)
\( f(\frac{3}{2}) = \frac{18}{4} - \frac{36}{4} + \frac{16}{4} \)
\( f(\frac{3}{2}) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \)
Entonces, el vértice es:\( V(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}) \)
Dado que el coeficiente de \( x^2 \) es positivo, la parábola se abre hacia arriba:Orientación: Hacia arriba
Para encontrar los ceros, debemos resolver \( 2x^2 - 6x + 4 = 0 \). Podemos utilizar la fórmula cuadrática o factorizar si es posible. La fórmula cuadrática es \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).\( x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)} \)
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{4} \)
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{4} \)
\( x = \frac{6 \pm 2}{4} \)
Esto nos da dos ceros:\( x = \frac{8}{4} = 2 \) y \( x = \frac{4}{4} = 1 \)
Los ceros son:\( x = 1 \) y \( x = 2 \)
El dominio de cualquier parábola es todos los números reales:Dominio: \( (-\infty, \infty) \)
El recorrido, dado que la parábola se abre hacia arriba y el vértice es el punto más bajo, será de \( y \) en el vértice (mínimo \( y \)) hasta infinito.Recorrido: \( [-\frac{1}{2}, \infty) \)
Las intercepciones con los ejes \( x \) son los ceros:\( (1,0) \) y \( (2,0) \)
Para el intercepto con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \):\( f(0) = 2(0)^2 - 6(0) + 4 = 4 \)
Intercepto en \( y \): \( (0,4) \)
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