Example Question - integral calculation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Integral Calculation for a Rational Function
<p>\( \int f(x) \,dx = \int \frac{3}{x} \,dx \)</p> <p>\( = 3 \int \frac{1}{x} \,dx \)</p> <p>\( = 3 \ln|x| + C \)</p> <p>where \( C \) is the constant of integration.</p>
Calculating Volume of Solid of Revolution around the y-Axis
Por supuesto, la cuestión planteada en la imagen pide calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje \( y \) la región acotada por la curva \( x^2 + 3 \), la línea \( y = 11 \) y el eje \( y \). Para resolver este problema, podemos usar el método de los discos (o cilindros) para calcular el volumen del sólido de revolución. Primero, necesitamos expresar \( x \) en términos de \( y \) porque vamos a integrar respecto a \( y \). La ecuación de la parábola \( x^2 + 3 = y \) se puede reescribir para \( x \) como función de \( y \): \( x = \sqrt{y - 3} \). Note que solo consideramos la raíz cuadrada positiva debido a que estamos interesados en el área en el primer cuadrante. El volumen del sólido generado cuando esta curva gira alrededor del eje \( y \) desde \( y = 3 \) (la parte inferior de la parábola donde corta al eje \( y \)) hasta \( y = 11 \) (dado por la línea horizontal) se puede calcular mediante la integral: \[ V = \pi \int_{y=3}^{y=11} (\text{radio})^2 dy \] El radio del disco en este caso es la distancia horizontal desde el eje \( y \) hasta la curva, que es \( x = \sqrt{y - 3} \). Entonces el volumen del sólido es: \[ V = \pi \int_{3}^{11} (\sqrt{y - 3})^2 dy \] \[ V = \pi \int_{3}^{11} (y - 3) dy \] Para calcular la integral, tomamos la antiderivada de \( y - 3 \): \[ V = \pi \left[ \frac{1}{2}y^2 - 3y \right]_{3}^{11} \] Ahora simplemente evaluamos la antiderivada en los límites de integración: \[ V = \pi \left[ \left( \frac{1}{2}(11)^2 - 3(11) \right) - \left( \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \left( \frac{1}{2}(121) - 33 \right) - \left( \frac{1}{2}(9) - 9 \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ 60.5 - 33 - 4.5 + 9 \right] \] \[ V = \pi \left[ 27.5 + 4.5 \right] \] \[ V = \pi \cdot 32 \] Por tanto, el volumen del sólido es \( 32\pi \) unidades cúbicas.
Solving a Definite Integral from 0 to a of x with Respect to x
Para resolver la integral indicada en la imagen, vamos a calcular la integral de x respecto a x desde 0 hasta a. La integral de x con respecto a x es: ∫ x dx => (1/2) x^2 + C Donde C es la constante de integración. Sin embargo, como estamos evaluando la integral definida de 0 a a, no necesitamos preocuparnos por la constante de integración. Evaluemos la integral definida: ∫ de 0 a a x dx = [(1/2) x^2] de 0 a a = (1/2) a^2 - (1/2) 0^2 = (1/2) a^2 - 0 = (1/2) a^2 Por lo tanto, la solución a la integral es (1/2) a^2. La opción correcta, de acuerdo a las opciones proporcionadas en la imagen, es la opción d) \( \frac{a^2}{2} \).
Solving Definite Integral Using Fundamental Theorem of Calculus
Para resolver esta integral definida, aplicaremos el teorema fundamental del cálculo. La integral de x con respecto a x es \( \frac{x^2}{2} \), así que aplicamos los límites de integración: \( \int_{0}^{a} xdx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{a} \) Evaluamos esta expresión en los límites superior e inferior: \( \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{a} = \frac{a^2}{2} - \frac{0^2}{2} \) \( = \frac{a^2}{2} - 0 \) \( = \frac{a^2}{2} \) Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción \( \text{d) } \frac{a^2}{2} \).
Evaluating a Definite Integral
The quality of the image isn't perfect, but I can make out that you're looking to evaluate the definite integral: \(\int_{0}^{2} (2x) dx\) To solve this definite integral, you can follow the steps below: 1. Find the antiderivative (indefinite integral) of the integrand function f(x) = 2x: \[ F(x) = \int 2x dx = x^2 + C \] where C represents the constant of integration. However, since we're evaluating a definite integral, we can ignore C. 2. Plug in the limits of integration into the antiderivative F(x): \[ F(2) - F(0) = (2^2) - (0^2) = 4 - 0 = 4 \] Thus, the value of the given definite integral is 4.
Integral Calculation for Shaded Area Between Linear Functions
La imagen muestra un gráfico con dos funciones lineales y un área sombreada entre ellas. Para encontrar el área del sector sombreado, necesitas integrar la diferencia de las dos funciones en el intervalo donde se superponen. Las funciones parecen ser f(x) = x y la otra es una recta positiva, posiblemente g(x) = kx, donde k es la pendiente. Sin valores específicos para los límites del área sombreada o la pendiente k, no puedo proporcionar una respuesta numérica exacta. Sin embargo, puedo explicarte cómo establecer la integral. Para el área sombreada, necesitas establecer A = ∫(g(x) - f(x)) dx La integral se calcula desde el punto de intersección de las dos rectas hasta el valor de x donde deseas detener el área. El punto de intersección de las rectas se da cuando f(x) = g(x), o sea, x = kx, lo cual sucede solo si x = 0 (asumiendo que k no es 1). Por lo tanto, el límite inferior de la integral es 0. Suponiendo que el límite superior es h, la integral es A = ∫[0,h](kx - x) dx A = ∫[0,h](x(k - 1)) dx Integrando x en el intervalo de 0 a h obtenemos A = [(k - 1)/2] x^2 | desde 0 hasta h A = [(k - 1)/2] h^2 Para darte una respuesta precisa, necesitaría los valores exactos de k (la pendiente de la segunda recta) y h (el límite superior del área sombreada).
Calculating Area Between Linear Functions
La imagen muestra el gráfico de una función lineal \( f(x) = x \) y posiblemente otra función afín o lineal decreciente que no está claramente etiquetada. Hay un área sombreada que parece representar el área entre las dos funciones. Para encontrar el área de la región sombreada, necesitamos las ecuaciones de ambas rectas y los límites de integración (los valores de \( x \) donde las rectas se cruzan). Suponiendo que la otra recta es una función de la forma \( g(x) = ax + b \) y que se cruza con la recta \( f(x) = x \) en dos puntos que definen los límites de la región sombreada, la diferencia entre estas dos funciones nos dará la altura de la región en un punto \( x \) dado dentro de los límites. El área \( A \) entre las dos funciones en el intervalo \([x_1, x_2]\), donde \(x_1\) y \(x_2\) son los puntos de intersección, se calcularía como sigue: \[ A = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \, dx \] Para poder proceder con el cálculo, necesitaríamos conocer la ecuación exacta de la segunda recta y los puntos específicos de intersección. Si tienes más información sobre la ecuación de la otra recta o los puntos de intersección, por favor, proporciónala para que pueda ayudarte con un cálculo más específico.
Calculating Volume of Solid of Revolution Using Disk Method
Para resolver este problema, utilizaremos el método de discos para calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar el segmento de la recta alrededor del eje \( x \). La recta dada por la ecuación \( y = 2x + 1 \) se revoluciona alrededor del eje \( x \). Entonces el volumen \( V \) del sólido generado es calculado por la integral \[ V = \pi \int_{a}^{b} [y(x)]^2 dx \] donde \( y(x) \) es la función que vamos a rotar, y \( a \) y \( b \) son los límites de integración que corresponden a los puntos donde \( x = 1 \) y \( x = 5 \), respectivamente. Vamos a calcular el volumen: \[ V = \pi \int_{1}^{5} (2x + 1)^2 dx \] Antes de integrar, expandimos el cuadrado del binomio: \[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \] Entonces la integral se convierte en: \[ V = \pi \int_{1}^{5} (4x^2 + 4x + 1) dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{1}^{5} \] Calculando esta integral definida, sustituimos los límites de integración: \[ V = \pi \left( \frac{4}{3}(5)^3 + 2(5)^2 + 5 - \left( \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 \right) \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{4}{3}(125) + 2(25) + 5 - \left( \frac{4}{3}(1) + 2(1) + 1 \right) \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 - \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 - \frac{4}{3} - 3 \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{500}{3} - \frac{4}{3} + 50 + 5 - 3 \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{496}{3} + 52 \right) \] Llegamos a: \[ V = \pi \left( \frac{496}{3} + \frac{156}{3} \right) \] \[ V = \pi \frac{652}{3} \] \[ V = 217\pi \] Así que el volumen del cono generado es \( 217\pi \) unidades cúbicas.
Integration by Parts of ln(x+3) * cos(x)
Задача изображена на фотографии - это интеграл от функции ln(x+3) умноженной на cos(x) в пределах от 0 до пи (π), и нужно его решить с использованием интегрирования по частям. Применим метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом: ∫ u dv = uv - ∫ v du где u и v - некоторые функции от x, du и dv их производные по x. Выберем u и dv следующим образом: u = ln(x+3), тогда du = (1/(x+3))dx dv = cos(x)dx, тогда v = ∫cos(x)dx = sin(x) Теперь применим формулу интегрирования по частям: ∫ ln(x+3) * cos(x)dx = ln(x+3) * sin(x) - ∫ sin(x) * (1/(x+3))dx Теперь у нас есть новый интеграл для расчета - ∫ sin(x) / (x+3) dx. Поиск первообразной для этого интеграла непростая задача, и она не будет выражаться через элементарные функции. Таким образом, этот интеграл не может быть вычислен аналитически в явном виде. Как правило, такие интегралы вычисляются численно или с использованием специальных функций. Если это задание из контрольной или экзамена, возможно, ожидается какой-то другой подход или предварительное упрощение, или же это может быть опечатка в постановке задачи.
Analyzing Riemann Sums for Integral Calculation
The question asks which of the given limits of a Riemann sum represents the value of the integral ∫ from -2 to 2 of (x^3 - 4x) dx. For a Riemann sum to represent the integral of a function, it must be in the form of the limit as n approaches infinity of the sum from k=1 to n of f(x_k)Δx, where Δx is the width of each sub-interval, and x_k is a sample point in the k-th sub-interval. Now, because the interval of integration is from -2 to 2, the total width of the interval is 4. Therefore, Δx = (b-a)/n = (2 - (-2))/n = 4/n. Next, we need to pick the sample points. For problems like this, we often use either left endpoints, right endpoints, or midpoints. Since the problem does not specify, we'll examine each of the options provided to see which one matches up. Looking at the options, the sample points x_k should be something like -2 + k(Δx) or -2 + (k - 1/2)(Δx) or -2 + (k-1)(Δx) for the left, midpoint, and right Riemann sums respectively. Let's examine the structure of the Riemann sums in the options: (A) x_k appears to be -2 + (3/2)(k/n) which is not of the correct form for any of the typical Riemann sum sample points. (B) x_k appears to be -2 + (k/n) which is not correct because it lacks the width of the sub-interval, Δx, in the multiplication with k. (C) x_k appears to be -2 + (5/2)(k/n) which is again not of the correct form for the Riemann sum sample points. (D) The sum in this option has not boxed or circled any term within it to identify x_k. Since options A, B, and C have clear structural issues with their x_k values, none of these correspond to the correct form for a Riemann sum for the integral given. Now, let's re-evaluate option D. The width of each sub-interval is (4/n) and when we plug in k as our index we should get: x_k = -2 + (k-1)(4/n) for the left Riemann sum or x_k = -2 + k(4/n) for the right Riemann sum or x_k = -2 + (4/n)(k - 1/2) for the midpoint Riemann sum. The expression in option D suggests that it's probably intending the midpoint Riemann sum, because it has an additional 1/2 term in the representation of x_k (since it doesn't fit the left or right endpoint patterns). Therefore, let's confirm the structure of x_k for the midpoint Riemann sum by expanding the expression used for x_k in option D: x_k = -2 + (2 + 5/2k/n) = -2 + (2 + (5k)/(2n)) This is not immediately recognizable as a midpoint sum expression. To match the desired structure, we should see: x_k = -2 + (4/n)(k - 1/2) = -2 + (4k/n) - (2/n) However, it's evident that the expressions in option D do not match the form of the midpoint Riemann sum after manipulating the terms. Therefore, we need to correct the expression provided: The midpoint for each sub-interval would be at x_k = -2 + (4/n)(k - 1/2) which simplifies to x_k = -2 + (4k/n) - (2/n) And we would then construct the sum as: Σ_{k=1}^n f(x_k)Δx It seems that none of the options A-D perfectly match the expected structure for a Riemann sum that would calculate the integral ∫ from -2 to 2 of (x^3 - 4x) dx. Option D is the closest, but the form of x_k provided is not correct for a typical midpoint Riemann sum, assuming that was the intention. If none of the options matches, an error may be present in the formulation of the answers, or additional context may be required to determine the correct response.
Integrating Polynomials Using Power Rule
To solve the integral provided in the image: ∫(8x^3 - x^2 + 5x - 1)dx You need to integrate each term separately using the power rule for integration. The power rule states that the integral of x^n with respect to x is (x^(n+1))/(n+1), where n ≠ -1. Applying the power rule to each term: For 8x^3, ∫8x^3 dx = 8 * ∫x^3 dx = 8 * (x^(3+1))/(3+1) = 8 * (x^4)/4 = 2x^4 For -x^2, ∫(-x^2) dx = - ∫x^2 dx = - (x^(2+1))/(2+1) = - (x^3)/3 For 5x, ∫5x dx = 5 * ∫x dx = 5 * (x^(1+1))/(1+1) = 5 * (x^2)/2 = (5/2)x^2 For -1, ∫(-1) dx = - ∫1 dx = -x Now, combine all the integrated terms: ∫(8x^3 - x^2 + 5x - 1)dx = 2x^4 - (x^3)/3 + (5/2)x^2 - x + C Where C is the constant of integration.
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