Question - Calculating Volume of Solid of Revolution around the y-Axis
Solution:
Por supuesto, la cuestión planteada en la imagen pide calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje $$ y $$ la región acotada por la curva $$ x^2 + 3 $$, la línea $$ y = 11 $$ y el eje $$ y $$. Para resolver este problema, podemos usar el método de los discos (o cilindros) para calcular el volumen del sólido de revolución. Primero, necesitamos expresar $$ x $$ en términos de $$ y $$ porque vamos a integrar respecto a $$ y $$. La ecuación de la parábola $$ x^2 + 3 = y $$ se puede reescribir para $$ x $$ como función de $$ y $$: $$ x = \sqrt{y - 3} $$. Note que solo consideramos la raíz cuadrada positiva debido a que estamos interesados en el área en el primer cuadrante.El volumen del sólido generado cuando esta curva gira alrededor del eje $$ y $$ desde $$ y = 3 $$ (la parte inferior de la parábola donde corta al eje $$ y $$) hasta $$ y = 11 $$ (dado por la línea horizontal) se puede calcular mediante la integral:\[ V = \pi \int_{y=3}^{y=11} (\text{radio})^2 dy \]El radio del disco en este caso es la distancia horizontal desde el eje $$ y $$ hasta la curva, que es $$ x = \sqrt{y - 3} $$. Entonces el volumen del sólido es:\[ V = \pi \int_{3}^{11} (\sqrt{y - 3})^2 dy \]\[ V = \pi \int_{3}^{11} (y - 3) dy \]Para calcular la integral, tomamos la antiderivada de $$ y - 3 $$:\[ V = \pi \left[ \frac{1}{2}y^2 - 3y \right]_{3}^{11} \]Ahora simplemente evaluamos la antiderivada en los límites de integración:\[ V = \pi \left[ \left( \frac{1}{2}(11)^2 - 3(11) \right) - \left( \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ \left( \frac{1}{2}(121) - 33 \right) - \left( \frac{1}{2}(9) - 9 \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ 60.5 - 33 - 4.5 + 9 \right] \]\[ V = \pi \left[ 27.5 + 4.5 \right] \]\[ V = \pi \cdot 32 \]Por tanto, el volumen del sólido es $$ 32\pi $$ unidades cúbicas.
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